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記事No.7723に関するスレッドです
★ 続けて質問です＞＜ / ぽんた
z^2+{(√(x^2+y^2))-b}^2=a^2　　ただし（０＜ａ＜ｂ）
の表面積を求めよ。(高校2・3年の範囲、積分法とその応用、月の光さんからの質問１の問題）

の問題で「求める立体は、この円をｚ軸を中心に回転させたものになります」というのがなぜなのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.7720 - 2009/08/31(Mon) 10:02:42
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
ｘｙ平面を極座標で表すと、任意の偏角θでの断面を
考えると、

のような図になります。

という、説明でわかりますか？
No.7723 - 2009/08/31(Mon) 10:20:14
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
正直分かりません。。
また、√(x^2+y^2）＝ｒは適当に置いたのではなく
極座標に直すということから置いたのですか？
No.7725 - 2009/08/31(Mon) 11:40:38
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー

上図で、回転している平面一つ一つが、ｒｚ平面です。
ｒは、点(x,y) までの距離を表しますから、
原点から、ｘｙ平面上で、放射状に伸ばした直線になります。
No.7727 - 2009/08/31(Mon) 13:20:46
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
つまり問題がz^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2　　ただし（０＜ａ＜ｂ）などであっても
ここまでは同じということですね？
No.7728 - 2009/08/31(Mon) 13:59:12
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
ｒ＝√(x^2＋y^2) は、原点(正確にはｚ軸)からの距離を
表しますが、
　ｒ＝√(3x^2+y^2)
は、そうではありませんので、上のようなｒｚ平面にはなりません。
（作ったとしても、円にはなりません）
No.7730 - 2009/08/31(Mon) 14:35:08
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
しかし　ｒ＝√(3x^2+y^2)
とおいても
z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
といったようにｒ−Z平面は円になりますよね？
No.7738 - 2009/08/31(Mon) 21:18:36
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー

図の左は、ｒ＝√(x^2+y^2)、右はｒ＝√(3x^2+y^2) のときの
各方向における、ｒの目盛りです。

左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、ｚ軸とも同じです。
右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、ｙ軸方向以外は
ｚ軸の間隔とずれます。
たとえば、ｘ軸方向は1/√3 倍に縮小されます。
その場合の、ｒｚ平面では、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、楕円になります。

よって、z^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2 は、方向によって、
短径が異なる楕円を持つ立体になります。
No.7740 - 2009/08/31(Mon) 21:58:59
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
本当に理解力が無くて申し訳ないのですが、
二つの図が何を表してるのかが分かりません。
ｘ−ｙ平面ですか？軸の名前が書いてないですが・・・
No.7745 - 2009/09/01(Tue) 00:30:10
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
また
ｒｚ平面では、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、楕円になります。
とありますが
これは円の式では？？
z＾２,r＾２の係数が1なので・・・
No.7746 - 2009/09/01(Tue) 00:34:49
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
上の図は、ｘｙ平面上での、各方向に伸ばしたｒ軸と、
その上での、ｒ＝１，２，３，４ の位置です。

　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、式の形は円ですが、上に書いたように
ｚ軸のスケールと、ｒ軸のスケールが違うので、楕円になります。

図の左は、ｚ軸とｒ軸の目盛りの間隔が等しい場合の
　ｚ^2＋ｒ^2＝４
のグラフ。右は、ｒ軸の目盛りの間隔が、ｚ軸より狭いときの
　ｚ^2＋ｒ^2＝４
のグラフです。
No.7748 - 2009/09/01(Tue) 07:10:59
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / 場合の数を極めたい者
7740のグラフは横方向がｘ軸縦方向がｙ軸ということですね？（x^2+y^2=r^2,3x^2+2ｙ^2=r^2より）それはわかりましたが、左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、ｚ軸とも同じです。
右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、ｙ軸方向以外は
ｚ軸の間隔とずれます。
たとえば、ｘ軸方向は1/√3 倍に縮小されます。
その場合の、ｒｚ平面では、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、楕円になります。

これの意味が分からないと、７７４８の意味が分かりません。。また、短径とは何ですか？

よろしくお願いします。。。
No.7749 - 2009/09/01(Tue) 09:07:36
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
１）ｒ軸は、原点から、360°あらゆる方向に引けます。

２）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、ｒは原点から点(x,y)までの
　距離を表します。たとえば、点(3,4) におけるｒの値は５です。

３）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、たとえば、ｘ軸方向のｒ軸を
　考えると、点(1,0) におけるｒの値は１、点(2,0)における
　ｒの値は２ となり、ｘ軸の目盛りと、ｒ軸の目盛りは
　一致します。ｙ軸も同様です。

４）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、7740 の左の図のように、
　どの方向のｒ軸も、整数の目盛りは等間隔になります。

５）４）の目盛りは、ｚ軸の目盛りの間隔とも同じです。
　つまり、ｚ軸の１目盛りが1cm なら、ｒ軸の１目盛りも
　1cm です。

６）ｒ＝√(3x^2+y^2) のとき、ｒは原点から点(x,y)までの
　距離を表しているわけではありません。たとえば、点(3,4)
　におけるｒの値は√43 です。

７）ｒ＝√(3x^2+y^2) のとき、たとえば、ｘ軸方向の
　ｒ軸を考えると、点(1/√3, 0) における ｒの値が１、
　点(2/√3, 0) における ｒの値が２ となり、ｒの整数の
　目盛りは、等間隔ですが、ｘ軸の目盛りとは一致しません。
　ｙ軸は、ｒ＝√(3x^2+y^2) の y^2 の係数が１であるため
　ｙ軸の目盛りと、ｒ軸の目盛りは間隔が一致します。

８）７）において、ｒ軸の目盛りは、ｘ軸の目盛りの 1/√3
　の間隔になっています。

９）7748 の図において、緑の線は、ｚまたはｒが整数である
　直線です。
　左右どちらも、
　　ｚ^2＋ｒ^2＝４
　のグラフですが、右の方は、ｚ軸とｒ軸の目盛りの感覚が違うため
　楕円になります。

10)

　図において、回転している長方形が、ｒｚ平面です。
　これは、ｒ＝√(x^2+y^2) の場合の図です。
　このとき、すべてのｒｚ平面上に書いた、
　　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
　のグラフは、円になります。

11) もし、10) の図を、ｒ＝√(3x^2+y^2) の場合について描くと、
　ｒｚ平面が、ｙｚ平面に重なるとき以外は、
　　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
　のグラフは楕円になります。

12) 11) のとき、楕円のｚ軸方向の長さ（長径）は２ａのままですが、
　ｒ軸方向の長さ(短径)は、ａより短く、ｚｘ平面上で
　２ａ/√３ になります。

さて、どこまでわかりますか？
No.7760 - 2009/09/01(Tue) 21:19:35
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
５ばんがよくわかりません。。
No.7777 - 2009/09/02(Wed) 11:29:50
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
４．が若干言葉足らずでしたが、
>どの方向のｒ軸も、整数の目盛りは等間隔になります。
等間隔であるだけでなく、どの方向においても目盛りの
間隔が等しいということです。
つまり、どの方向も整数の目盛りの間隔は、１であるということです。

ｚ軸と、ｒ軸の目盛りの間隔が同じことは、
そこに描かれた、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
のグラフが円になるか、楕円になるかにかかわってきます。
No.7781 - 2009/09/02(Wed) 14:36:33
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
参考までに、
　ｒ＝√(3x^2+y^2)
のときの、断面の図を載せておきます。

↑こちらは　ｒ＝√(x^2+y^2)

↓こちらが　ｒ＝√(3x^2+y^2)
No.7782 - 2009/09/02(Wed) 15:26:45
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
r軸がｚ軸に重なることがある、といっているように聞こえます。ｒはxとyからなる式なのでｚ軸方向の目盛りはx軸、ｙ軸で等間隔になってもそれはｚ軸には関係ないように思えるのですが。
No.7793 - 2009/09/02(Wed) 23:19:44
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
ｒ軸はｘｙ平面上に出来るので、ｚ軸とは常に垂直です。
問題は、ｚ軸の目盛りの間隔と、ｒ軸の目盛りの間隔が
同じでないと、7748 の右の図のように、
　ｚ^2＋ｒ^2＝４
という、式の形は円でも、外から見ると、楕円になってしまうと
いうことと、ｒ軸の方向によって、その楕円の形も変わると
いうことです。

これでは、元々の問題で使ったような、パップスギュルダンは
使えません。

7782 の上の図は、ｒ軸が回転しても、ｒｚ平面上に書いた、
図形は円のままですが、下の図は、回転するにつれて、
形が変わっているのを、読み取ってください。
No.7797 - 2009/09/02(Wed) 23:40:44