(2)なんですが、
解のみ(l,m,n)=(1,1,1),(5,1,3),(1,11,9)など、
と分かっているのですが、どうやって絞り込むのか教えて下さい。
2018鹿児島大学理学部AO問題です。
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No.77457 - 2021/08/09(Mon) 22:32:45
| ☆ Re: 整数問題 / IT | | | （途中で使う変数は整数とします）
条件を移項して整理すると、
l^2-n^2=2(n^2-m^2)
l=nのとき n=m すなわち l=n=m
l,m,nの最大公約数＝１より(l,m,n)=(1,1,1)
l<nのとき n<m ,l>nのとき n>m
l=n+s,m=n+t とおくと
(n+s)^2+2(n+t)^2=3n^2
整理すると s^2+2t^2=-2n(s+2t)
s=2a とおける 2a^2+t^2=-2n(a+t)
t=2b とおける a^2+2b^2=-n(a+2b)
∴n=-(a^2+2b^2)/(a+2b)
（a+2b=-1 は必要条件ではないが、-(a^2+2b^2)/(a+2b)が正整数になるのが容易に分かるので）
ここでa+2b=-1 すなわちa=-2b-1となるような a,b をとる。
例えば簡単なのは
a=-3,b=1 このとき l=5,m=13,n=11 最大公約数が１なのでOK。
a=1,b=-1 このとき l=5,m=1,n=3, これもOK
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No.77458 - 2021/08/09(Mon) 23:53:46 |
| ☆ Re: 整数問題 / ヨッシー  | | | (1) で、Ｑの座標
((-2t^2＋4t＋1)/(1＋2t^2), (2t^2＋2t−1)/(1＋2t^2))
を求めたと思います。
これに
t=1 を代入した(1,1,1) から得られる (1,1,1)
t=2 を代入した(1/9,11/9,1) から得られる(1,11,9)
t=0.5 を代入した (5/3, 1/3,1) から得られる (5,1,3)
t=1.5 を代入した(5/11,13/11,1) から得られる (5,13,11)
など、ｘ、ｙが０以下にならない範囲で、色々求められます。
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No.77459 - 2021/08/09(Mon) 23:55:59 |
| ☆ Re: 整数問題 / らすかる | | | (1)を知らない前提で回答すると
例えばm=1として与式を変形するとl^2-1=3(n^2-1)
両辺を4で割った余りを考えるとlとnは奇数でなければならないことがわかる
(奇数)^2を小さいほうから10個列挙すると
1,9,25,49,81,121,169,225,289,361なので
(奇数)^2-1を小さいほうから10個列挙すると
0,8,24,48,80,120,168,224,288,360となる
このなかで3倍の関係になっているものは
0の3倍は0 → (l,n)=(1,1)
8の3倍は24 → (l,n)=(5,3)
120の3倍は360 → (l,n)=(19,11)
と3組見つかるので
(l,m,n)=(1,1,1),(5,1,3),(19,1,11)は条件を満たすことがわかる。
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No.77461 - 2021/08/10(Tue) 00:25:13 |
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