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記事No.77487に関するスレッドです
★ (No Subject) / 大学一年
写真の問題が分かりません。
解き方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.77487 - 2021/08/10(Tue) 13:55:26
☆ Re: / 関数電卓
未定乗数法でやって欲しいのでしょうね。
(1)
f(x,y)＝x＋2y …(1), x^2＋y^2＝4 …(2)
　g(x,y)＝x＋2y−λx^2＋y^2) …(3)
と置くと
　∂g/∂x＝1−2λx＝0 より x＝1/(2λ) …(5)
　∂g/∂y＝2−2λy＝0 より y＝1/λ …(6)
(5)(6)を(2)に戻して，1/(4λ^2)＋1/λ^2＝4 …(7)
(7)を解いて，λ＝±√5/4 …(8)
(8)を(5)(6)に戻し，x＝±2/√5，y＝±4/√5 …(9)
(9)を(1)に戻し，
　±2√5/5±8/√5＝±10/√5＝±2√5
よって，求める 極大値は 2√5，極小値は −2√5 …(10)
逆に，(2)より −2≦x,y≦2 だから，(10)は求める極値である。

※ 本問は，大学で学ぶ未定乗数法でやるよりも，高校数学でやる方が楽なのです。
　x＋2y＝k と置くと
　x^2＋y^2−4＝(k−2y)^2＋y^2−4＝5y^2−4ky＋k^2−4＝0
上式で y は実数だから
　判別式 D/4＝(2k)^2−5(k^2−4)＝20−k^2≧0　∴ −2√5≦k≦2√5
No.77515 - 2021/08/10(Tue) 22:10:02
☆ Re: / 関数電卓
(2)
　f(x,y)＝x^2＋y^2 …<1>, x^3＋y^3＝1 …<2>
　g(x,y)＝x^2＋y^2−λ(x^3＋y^3) …<3>
と置くと
　∂g/∂x＝2x−3λx^2＝x(2−3λx)＝0 より x＝0 …<3> または x＝2/(3λ) …<4>
　∂g/∂y＝2y−3λy^2＝y(2−3λy)＝0 より y＝0 …<5> または y＝2/(3λ) …<6>
<3> x＝0 のとき<2>より y＝1
<5> y＝0 のとき<2>より x＝1
(x,y)＝(1,0),(0,1) のとき，<1>より f(x,y)＝1 …<7>
<4><6> x＝y のとき，<2>より x＝y＝2^(−1/3)
このとき f(x,y)＝2･2^(−2/3)＝2^(1/3) (＞1) …<8>
<2>より，x＜0 が十分小さくなると y＞0 は十分大きくなり，f(x,y) は十分大きくなる。
x＞0 が十分大きくなると y＜0 は十分小さくなり，f(x,y) は十分大きくなる。
以上より，
　f(1,0)＝f(0,1)＝1 が 極小値，f(2^(−1/3),2^(−1/3))＝2^(1/3) が 極大値。
No.77516 - 2021/08/10(Tue) 23:53:38