[ 掲示板に戻る ]
記事No.77671に関するスレッドです
★ 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
∫(x＾3/x＾2−１)dx＝x＾2/2+log│2x-2│+log│2x+2│+cで計算あってるか教えてください。
No.77660 - 2021/08/15(Sun) 22:56:06
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / 関数電卓
あって います。
No.77661 - 2021/08/15(Sun) 23:12:05
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / らすかる
合っていないと思います。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%29%28x%5E2%2F2%2Blog%28abs%282x-2%29%29%2Blog%28abs%282x%2B2%29%29%29&lang=ja
No.77663 - 2021/08/16(Mon) 00:42:12
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
ごめんなさい。問題の記し方に誤りがありました。
正しくは∫{x＾3/(x＾2−１)}dx＝x＾2/2+log│2x-2│+log│2x+2│+cです。
出来ればどなたか手計算で解いて頂けないでしょうか？
No.77664 - 2021/08/16(Mon) 01:36:31
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / らすかる
∫x^3/(x^2-1) dx
=∫(x^3-x+x)/(x^2-1) dx
=∫x+x/(x^2-1) dx
=(1/2)∫2x+2x/(x^2-1) dx
=(1/2)∫{x^2}'+{log|x^2-1|}' dx
=(x^2+log|x^2-1|)/2+C
となります。

# 2行目と4行目と5行目は途中計算をわかりやすくするために書いたものです。
No.77665 - 2021/08/16(Mon) 01:44:47
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
丁寧な返信ありがとうございました。計算できました。

私の最初に質問した計算が変だったのは、最初に分子の次数下げを行ってそこから部分分数分解を行ったからだと思いました。
分子についてX＾3=(x＾2-1)(x+1/x)+1/xと置いたのが間違いだったのかな？と思いました。
No.77666 - 2021/08/16(Mon) 02:09:26
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / ast
> 最初に分子の次数下げを行ってそこから部分分数分解を行った
という方針で正しく解けると思います. (つまりこの方針自体は「計算が変だった」原因ではない)

まあ, x^3/(x^2-1)=x+(1/2){1/(x-1)+1/(x+1)} から
　∫x^3 dx/(x^2-1) = x^2/2 +(1/2){log|x-1|+log|x+1|}+C
が部分分数分解だと標準的な結果だと思いますが,
べつに, x^3/(x^2-1)=x+1/(2x-2)+1/(2x+2) から
　∫x^3 dx/(x^2-1) = x^2/2 +log|2x-2|/2+log|2x+2|/2+C
でも何も問題なく正答です. (積分定数除けば上と下は log(2) の差しかないので)

# 質問者の間違った答えと上の二つ目の解法の正しい式との違いを考えれば,
# できてない根本は十中八九置換積分だと思う.
## 端的には (ax+b)-型の置換積分は 1/a を掛けないといけない. (d(ax+b)=adx だから, dx=d(ax+b)/a)
## といったあたりのことかと.

むしろわからないのは,
> X＾3=(x＾2-1)(x+1/x)+1/xと置いた
のほうで, これ自体は (X は x に直すとして) 正しい式だと思いますが, これで次数下げやそのあとの部分分数分解にどうつながるのか分からない. (本来やるべき次数下げでは x^3 を x^2-1 で (整式の) 割り算することが必要であり, そこで 1/x とかは出てこない)
# とはいえ, そのあとどうにかして部分分数分解できるかたちにもっていけたのであれば問題ないので
# これも「計算が変だった」原因とは言い切れないということになります.
No.77667 - 2021/08/16(Mon) 02:32:47
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / 関数電卓
あっていませんでした。ぱっと見で判断してしまい，失礼致しました。
No.77668 - 2021/08/16(Mon) 08:54:41
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
丁寧なご対応ありがとうございます。
ご指摘の通り置換積分がよく理解していなかった事が急所であるのは間違いないと思います。

また、そもそもx^3をx^2‐1で割り算した結果をX＾3=(x＾2-1)(x+1/x)+1/xのようにしてしまったのが誤りだったと思います。

汚い字で恥ずかしいですが、昨日計算した画像を貼り付けます。
No.77670 - 2021/08/16(Mon) 14:11:40
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
よろしくお願いします。
No.77671 - 2021/08/16(Mon) 14:14:23
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
ごめんなさい横でした。
No.77672 - 2021/08/16(Mon) 14:17:09
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / らすかる
astさんも指摘されていますが、
1/(2x-2),1/(2x+2)の積分をlog|2x-2|,log|2x+2|としているところが誤りです。
log|2x-2|とlog|2x+2|を微分してみれば誤りであることがわかると思います。

# 不定積分の答えが合っているかどうかは、結果を微分すればわかります。
# 不安なら答えを微分しましょう。
No.77673 - 2021/08/16(Mon) 14:41:48
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
ありがとうございます。助かりました。

∫f(1/x)dx＝log│x│とばかり考えていて、xに整式が来る場合は、合成関数のように考えて積分しないといけなかったんですね。腑に落ちました。
No.77674 - 2021/08/16(Mon) 15:20:11
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / 編入受験生
> ∫(x＾3/x＾2−１)dx＝x＾2/2+log│2x-2│+log│2x+2│+cで計算あってるか教えてください。

部分数分解を使うのではなく、
∫x^3dx/(x^2-1) = ∫(x(x^2-1) + x)dx/(x^2-1)
= ∫xdx + ∫xdx/(x^2-1) = x^2/2 + log|x^2-1|/2 + C
のように解いてください。
つまり、公式∫f(x){F(x)}^rdx = 1/(r+1){F(x)}^(r+1) + C
を使って解くべきです。rはxに依らない実数,F(x)はf(x)の原始関数。この公式は右辺を微分すればわかる。
部分数分解を用いた解き方は一般的に計算量が多くなるから、あまり使わないほうがいいと思う。
なるべく公式と式を工夫して解くようにしないと、
計算ミスが多くなると思う。
No.77695 - 2021/08/19(Thu) 08:18:18