[
掲示板に戻る
]
記事No.7782に関するスレッドです
★
続けて質問です><
/ ぽんた
引用
z^2+{(√(x^2+y^2))-b}^2=a^2 ただし(0<a<b)
の表面積を求めよ。(高校2・3年の範囲、積分法とその応用、月の光さんからの質問1の問題)
の問題で「求める立体は、この円をz軸を中心に回転させたものになります」というのがなぜなのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.7720 - 2009/08/31(Mon) 10:02:42
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
xy平面を極座標で表すと、任意の偏角θでの断面を
考えると、
のような図になります。
という、説明でわかりますか?
No.7723 - 2009/08/31(Mon) 10:20:14
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
正直分かりません。。
また、√(x^2+y^2)=rは適当に置いたのではなく
極座標に直すということから置いたのですか?
No.7725 - 2009/08/31(Mon) 11:40:38
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
上図で、回転している平面一つ一つが、rz平面です。
rは、点(x,y) までの距離を表しますから、
原点から、xy平面上で、放射状に伸ばした直線になります。
No.7727 - 2009/08/31(Mon) 13:20:46
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
つまり問題がz^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2 ただし(0<a<b)などであっても
ここまでは同じということですね?
No.7728 - 2009/08/31(Mon) 13:59:12
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
r=√(x^2+y^2) は、原点(正確にはz軸)からの距離を
表しますが、
r=√(3x^2+y^2)
は、そうではありませんので、上のようなrz平面にはなりません。
(作ったとしても、円にはなりません)
No.7730 - 2009/08/31(Mon) 14:35:08
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
しかし r=√(3x^2+y^2)
とおいても
z^2+(r−b)^2=a^2
といったようにr−Z平面は円になりますよね?
No.7738 - 2009/08/31(Mon) 21:18:36
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
図の左は、r=√(x^2+y^2)、右はr=√(3x^2+y^2) のときの
各方向における、rの目盛りです。
左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、z軸とも同じです。
右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、y軸方向以外は
z軸の間隔とずれます。
たとえば、x軸方向は1/√3 倍に縮小されます。
その場合の、rz平面では、
z^2+(r−b)^2=a^2
は、楕円になります。
よって、z^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2 は、方向によって、
短径が異なる楕円を持つ立体になります。
No.7740 - 2009/08/31(Mon) 21:58:59
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
本当に理解力が無くて申し訳ないのですが、
二つの図が何を表してるのかが分かりません。
x−y平面ですか?軸の名前が書いてないですが・・・
No.7745 - 2009/09/01(Tue) 00:30:10
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
また
rz平面では、
z^2+(r−b)^2=a^2
は、楕円になります。
とありますが
これは円の式では??
z^2,r^2の係数が1なので・・・
No.7746 - 2009/09/01(Tue) 00:34:49
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
上の図は、xy平面上での、各方向に伸ばしたr軸と、
その上での、r=1,2,3,4 の位置です。
z^2+(r−b)^2=a^2
は、式の形は円ですが、上に書いたように
z軸のスケールと、r軸のスケールが違うので、楕円になります。
図の左は、z軸とr軸の目盛りの間隔が等しい場合の
z^2+r^2=4
のグラフ。右は、r軸の目盛りの間隔が、z軸より狭いときの
z^2+r^2=4
のグラフです。
No.7748 - 2009/09/01(Tue) 07:10:59
☆
Re: 続けて質問です><
/ 場合の数を極めたい者
引用
7740のグラフは横方向がx軸縦方向がy軸ということですね?(x^2+y^2=r^2,3x^2+2y^2=r^2より)それはわかりましたが、左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、z軸とも同じです。
右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、y軸方向以外は
z軸の間隔とずれます。
たとえば、x軸方向は1/√3 倍に縮小されます。
その場合の、rz平面では、
z^2+(r−b)^2=a^2
は、楕円になります。
これの意味が分からないと、7748の意味が分かりません。。また、短径とは何ですか?
よろしくお願いします。。。
No.7749 - 2009/09/01(Tue) 09:07:36
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
1)r軸は、原点から、360°あらゆる方向に引けます。
2)r=√(x^2+y^2) のとき、rは原点から点(x,y)までの
距離を表します。たとえば、点(3,4) におけるrの値は5です。
3)r=√(x^2+y^2) のとき、たとえば、x軸方向のr軸を
考えると、点(1,0) におけるrの値は1、点(2,0)における
rの値は2 となり、x軸の目盛りと、r軸の目盛りは
一致します。y軸も同様です。
4)r=√(x^2+y^2) のとき、7740 の左の図のように、
どの方向のr軸も、整数の目盛りは等間隔になります。
5)4)の目盛りは、z軸の目盛りの間隔とも同じです。
つまり、z軸の1目盛りが1cm なら、r軸の1目盛りも
1cm です。
6)r=√(3x^2+y^2) のとき、rは原点から点(x,y)までの
距離を表しているわけではありません。たとえば、点(3,4)
におけるrの値は√43 です。
7)r=√(3x^2+y^2) のとき、たとえば、x軸方向の
r軸を考えると、点(1/√3, 0) における rの値が1、
点(2/√3, 0) における rの値が2 となり、rの整数の
目盛りは、等間隔ですが、x軸の目盛りとは一致しません。
y軸は、r=√(3x^2+y^2) の y^2 の係数が1であるため
y軸の目盛りと、r軸の目盛りは間隔が一致します。
8)7)において、r軸の目盛りは、x軸の目盛りの 1/√3
の間隔になっています。
9)7748 の図において、緑の線は、zまたはrが整数である
直線です。
左右どちらも、
z^2+r^2=4
のグラフですが、右の方は、z軸とr軸の目盛りの感覚が違うため
楕円になります。
10)
図において、回転している長方形が、rz平面です。
これは、r=√(x^2+y^2) の場合の図です。
このとき、すべてのrz平面上に書いた、
z^2+(r−b)^2=a^2
のグラフは、円になります。
11) もし、10) の図を、r=√(3x^2+y^2) の場合について描くと、
rz平面が、yz平面に重なるとき以外は、
z^2+(r−b)^2=a^2
のグラフは楕円になります。
12) 11) のとき、楕円のz軸方向の長さ(長径)は2aのままですが、
r軸方向の長さ(短径)は、aより短く、zx平面上で
2a/√3 になります。
さて、どこまでわかりますか?
No.7760 - 2009/09/01(Tue) 21:19:35
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
5ばんがよくわかりません。。
No.7777 - 2009/09/02(Wed) 11:29:50
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
4.が若干言葉足らずでしたが、
>どの方向のr軸も、整数の目盛りは等間隔になります。
等間隔であるだけでなく、どの方向においても目盛りの
間隔が等しいということです。
つまり、どの方向も整数の目盛りの間隔は、1であるということです。
z軸と、r軸の目盛りの間隔が同じことは、
そこに描かれた、
z^2+(r−b)^2=a^2
のグラフが円になるか、楕円になるかにかかわってきます。
No.7781 - 2009/09/02(Wed) 14:36:33
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
参考までに、
r=√(3x^2+y^2)
のときの、断面の図を載せておきます。
↑こちらは r=√(x^2+y^2)
↓こちらが r=√(3x^2+y^2)
No.7782 - 2009/09/02(Wed) 15:26:45
☆
Re: 続けて質問です><
/ ぽんた
引用
r軸がz軸に重なることがある、といっているように聞こえます。rはxとyからなる式なのでz軸方向の目盛りはx軸、y軸で等間隔になってもそれはz軸には関係ないように思えるのですが。
No.7793 - 2009/09/02(Wed) 23:19:44
☆
Re: 続けて質問です><
/ ヨッシー
引用
r軸はxy平面上に出来るので、z軸とは常に垂直です。
問題は、z軸の目盛りの間隔と、r軸の目盛りの間隔が
同じでないと、7748 の右の図のように、
z^2+r^2=4
という、式の形は円でも、外から見ると、楕円になってしまうと
いうことと、r軸の方向によって、その楕円の形も変わると
いうことです。
これでは、元々の問題で使ったような、パップスギュルダンは
使えません。
7782 の上の図は、r軸が回転しても、rz平面上に書いた、
図形は円のままですが、下の図は、回転するにつれて、
形が変わっているのを、読み取ってください。
No.7797 - 2009/09/02(Wed) 23:40:44