写真の問題の解説の一部分が分かりません。かみくだいた詳細が知りたいです。
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No.77940 - 2021/08/30(Mon) 17:44:46
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | 書き方に問題があったようです、訂正しておきました。
参考書のように共役複素数を用いて示す方法を書いておきます。
まず、ka+lb+mの形になるというところですが、
これは筆算の仕組みを考えれば、わかる。
あまりが0のときa,bは実数になるというところは、共役複素数を使うことで示せる。
整式の余りの次数は、割る整式の次数より１小さいのだから、
x^2+x+1で問題の整式を割った余りはAx+Bと表すことができる.
余りが0ということは、A=0かつB=0で,AとBは上記からaあるいはbの一次式だから、仮にA = ka+lb+m,B = Ka+Lb+Mとおくと,
ka+lb+m = 0...(1) かつ Ka+Lb+M = 0...(2)
ここで(1)と(2)の両辺の共役を取れば,
k[a]+l[b]+m = 0...(3) かつK[a]+L[b]+M = 0...(4)
[a],[b]はそれぞれa,bの共役複素数で実数の共役複素数は実数。
ここで、(K/k){(1)-(3)} - {(2)-(4)}を計算すると,
(K/k){(1)-(3)} - {(2)-(4)} = (Kl/k-L){b-[b]} = 0...(5)(5)から,Kl/k - L=0あるいはb-[b]=0であるが、
Kl/k - Lは0になりえない.
なぜなら,もしKl/k - L=0だとすると,(K/k)(1)-(2)
= (Kl/k-L)b + (K/k)m - M = 0 ⇔ (K/k)m = Mとなるが,
もしこれが成り立つならばa,bは何をとっても成立するし、
成り立たなければKl/k - L≠0であるから.
よって、b-[b] = 0 ⇔ b = [b]であるから,bは実数.(複素数とその共役複素数が等しいことが実数であることの必要十分条件).
あとはkあるいはKのどちらかは必ず0でない実数だから(もしどちらも0だったらaはどんな値をとっても成り立つかあるいは常に成り立たないのどちらかしかない),(1)あるいは(2)を変形して、左辺をaにすればbが実数であることを用いてaが実数であることがわかる.
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No.77952 - 2021/08/30(Mon) 20:05:12 |
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