これは解けるのでしょうか？
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No.77972 - 2021/08/31(Tue) 08:16:10
| ☆ Re: 積分 / 編入受験生 | | | > これは解けるのでしょうか？
初等的に解くことはできないと思います。
一応、やってみた（答えは出せてない）.
f(x) = sinx + sin(nx) + sin(n^2x)とおく.
0 < x < πの範囲での,
f(x) = 0の解を小さいほうからa_1,a_2,a_3,...,a_kとおく.
ただし,kはnの関数であってすべてのkに対してa_kはnの関数.
今仮に,0<x<a_1におけるf(x)の値が正とすると,
a_1<x<a_2におけるf(x)の値は負あるいは正のいずれかだが、
x=a_1でのf(x)の傾きが0でないならば、 a_1<x<a_2におけるf(x)の値は常に負となる.
逆に0<x<a_1におけるf(x)の値が負ならば、f'(a_1)≠0で,
a_1<x<a_2におけるf(x)の値は常に正となる.
つまり,f'(a_1)≠0ならばx=a_1でf(x)の符号は変化する.
一般に,x=aでf(a)=0かつf'(a)≠0ならばx=aでf(x)の符号は変化するから,x=a_1,a_2,a_3,..,a_kでf'(x)≠0ならば,
∫[0,π]|f(x)|dx = |∫[0,a_1]f(x)dx-∫[a_1,a_2]f(x)dx+...+∫[a_k,π]f(x)dx|となるか,
∫[0,π]|f(x)|dx = |∫[0,a_1]f(x)dx-∫[a_1,a_2]f(x)dx+...-∫[a_k,π]f(x)dx|のどちらかとなる.
kが偶数ならば,前者であってkが奇数ならば後者となることは明らか.
F(x) = -cosx-cos(nx)/n-cos(n^2x)/n^2+Cだから,
n→∞の極限を取れば,-cos(nx)/n-cos(n^2x)/n^2は無視できて,
lim_{n→∞}∫[0,π]|f(x)|dx = |-cos(a_1)+cos(0)+cos(a_2)-cos(a_1)+...-cos(π)+cos(a_k)| = 2|1-cos(a_1)+cos(a_2)-cos(a_3)+...-cos(a_{k-1})+cos(a_k)|となるか,
lim_{n→∞}∫[0,π]|f(x)|dx = |-cos(a_1)+cos(0)+cos(a_2)-cos(a_1)+...+cos(π)-cos(a_k)|=2|-cos(a_1)+cos(a_2)-cos(a_3)+...+cos(a_{k-1})-cos(a_k)|となる.
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No.77989 - 2021/08/31(Tue) 22:06:46 |
| ☆ Re: 積分 / msyzk  | | | ありがとうございます。
> > これは解けるのでしょうか？
>
> 初等的に解くことはできないと思います。
> 一応、やってみた（答えは出せてない）.
>
> f(x) = sinx + sin(nx) + sin(n^2x)とおく.
> 0 < x < πの範囲での,
> f(x) = 0の解を小さいほうからa_1,a_2,a_3,...,a_kとおく.
> ただし,kはnの関数であってすべてのkに対してa_kはnの関数.
> 今仮に,0<x<a_1におけるf(x)の値が正とすると,
> a_1<x<a_2におけるf(x)の値は負あるいは正のいずれかだが、
> x=a_1でのf(x)の傾きが0でないならば、 a_1<x<a_2におけるf(x)の値は常に負となる.
> 逆に0<x<a_1におけるf(x)の値が負ならば、f'(a_1)≠0で,
> a_1<x<a_2におけるf(x)の値は常に正となる.
> つまり,f'(a_1)≠0ならばx=a_1でf(x)の符号は変化する.
> 一般に,x=aでf(a)=0かつf'(a)≠0ならばx=aでf(x)の符号は変化するから,x=a_1,a_2,a_3,..,a_kでf'(x)≠0ならば,
> ∫[0,π]|f(x)|dx = |∫[0,a_1]f(x)dx-∫[a_1,a_2]f(x)dx+...+∫[a_k,π]f(x)dx|となるか,
> ∫[0,π]|f(x)|dx = |∫[0,a_1]f(x)dx-∫[a_1,a_2]f(x)dx+...-∫[a_k,π]f(x)dx|のどちらかとなる.
> kが偶数ならば,前者であってkが奇数ならば後者となることは明らか.
> F(x) = -cosx-cos(nx)/n-cos(n^2x)/n^2+Cだから,
> n→∞の極限を取れば,-cos(nx)/n-cos(n^2x)/n^2は無視できて,
> lim_{n→∞}∫[0,π]|f(x)|dx = |-cos(a_1)+cos(0)+cos(a_2)-cos(a_1)+...-cos(π)+cos(a_k)| = 2|1-cos(a_1)+cos(a_2)-cos(a_3)+...-cos(a_{k-1})+cos(a_k)|となるか,
> lim_{n→∞}∫[0,π]|f(x)|dx = |-cos(a_1)+cos(0)+cos(a_2)-cos(a_1)+...+cos(π)-cos(a_k)|=2|-cos(a_1)+cos(a_2)-cos(a_3)+...+cos(a_{k-1})-cos(a_k)|となる.
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No.78002 - 2021/09/01(Wed) 06:06:00 |
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