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記事No.77986に関するスレッドです

∫√(1-x^2)dx / もよもと
∫√(1-x^2)dx


1-x^2=tとおくと
-2x=dt/dx
-2x・dx=dt
dx=dt/-2x
∫√(1-x^2)dx
=∫√(1-x^2)・dt/-2x
=∫(√t・1/(-2√(1-t)))dt
ここからが分かりません
1/(-2√(1-t))をどうすればいいのでしょうか

No.77986 - 2021/08/31(Tue) 19:41:58

Re: ∫√(1-x^2)dx / 編入受験生
ずっとその問題を考えられているようですが、
√(1-x^2)の積分は円の面積を考えるかx=sinx or cosxとおいて,
置換積分する方法で解くことになっています。
写真の積分を解くことは√(1-x^2)の積分を解くことと難易度が全く変わりません。
これでは、だめですか?
まず∫[0〜1]√(1-x^2)dxは、曲線C:y = √(1-x^2)とx軸とx=0とx=1で囲まれた面積を表す.
曲線C:y = √(1-x^2)の両辺を2乗すると, y^2+x^2 = 1となるから,曲線C上の点は原点からの距離が必ず1となる.
ゆえに極座標を用いると, 曲線Cの極方程式はr=1であるから,
曲線C:y = √(1-x^2)とx軸と直線x=0と直線x=1で囲まれた面積は、極座標を用いて∫[0,π/2]r^2/2dθ = ∫[0,π/2]1/2dθ = π/4となる.
これは,∫[0〜1]√(1-x^2)dxの値に他ならない.

No.77991 - 2021/08/31(Tue) 22:32:05