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記事No.78218に関するスレッドです
★ (No Subject) / パンサーカス
0≦θ≦π/2 C;y=x²-2xcosθ＋cos2θのときCの通りうる範囲を図示したいのですがどうすればいいですか？
No.78180 - 2021/09/14(Tue) 13:01:30
☆ Re: / 関数電卓
cosθ＝u と置くと
　与式 ⇔ 2u^2−2xu＋x^2−y−1＝0 …(*)
u についての２次方程式(*)が 0≦u≦1 の実数解をもつ (x,y) の条件を求める。
No.78181 - 2021/09/14(Tue) 14:04:51
☆ Re: / 編入受験生
> cosθ＝u と置くと
> 　与式 ⇔ 2u^2−2xu＋x^2−y−1＝0 …(*)
> u についての２次方程式(*)が 0≦u≦1 の実数解をもつ (x,y) の条件を求める。

そのやり方で,yの範囲をどうやって出すのですか。
0<=u<=1のもとで２次方程式(*)が解を持つような条件を考えると,yが不等式の中に現れますが,そのyはθによって定まるので,循環論法です.

この問題は、文字固定で解きます.
つまり,xを固定して,yをθの関数と見立て,
yの最小値と最大値をだす.
このやり方で解きます.
パンサーカスさん、自分で考えてみてください.
No.78197 - 2021/09/15(Wed) 00:44:54
☆ Re: / 関数電卓
　C：y＝x^2−2xcosθ＋2(cosθ)^2−1 (0≦θ≦π/2) …(1)
cosθ＝u と置くと，0≦u≦1 かつ
　(1) ⇔ 2u^2−2xu＋x^2−y−1＝0 …(2)
(2)が実数解をもつことから
　D/4＝x^2−2(x^2−y−1)＝−x^2＋2y＋2≧0 ∴ y≧(1/2)x−1 …(3)
また，
　z＝f(u)＝2u^2−2xu＋x^2−y−1 …(4)
と置くと，
　(2)が 0≦u≦1 の解をもつ ⇔ Z＝f(u) が 0≦u≦1 で u 軸と交わる
であり，(3)のとき z＝f(u) はどこかで必ず u 軸と交わるのだから，下 図１の場合のみを除けば良い。このとき
　f(0)＝x^2−y−1＜0　∴ y＞x^2−1 …(5)
　f(1)＝2−2x＋x^2−y−1＝(x−1)^2−y＜0　∴ y＞(x−1)^2 …(6)
以上より，(3)から(5)(6)を除くと，求める (x,y) 存在する範囲，すなわち(1)が通る領域は 図２ の着色部分。ただし，境界線上の点を含む。
No.78202 - 2021/09/15(Wed) 13:05:42
☆ Re: / m
関数電卓さんの方針がやりやすいと思いますが，場合分けが足りていないので補足します．
答え確認用の図

u の二次方程式 f(u)＝2u^2−2xu＋x^2−y−1=0 が 0≦u≦1 に解をもつための条件を考えていた．
まず，実数解をもつから D≧0 である．

解の存在する場所に注目して除くべき場合は次の３つ．

A1. u<0 と u>1 にそれぞれ解を持つとき．f(0)<0 かつ f(1)<0.

A2. u<0 に（重解を含む）二つの解をもつとき．放物線の軸(u = x/2)<0 かつ f(0)>0.

A3. u>1 に（重解を含む）二つの解をもつとき．放物線の軸(u = x/2)>1 かつ f(1)>0.



別の方法として，0≦u≦1 に解を持たない場合を考えてそれを除くのではなく，直接的に解をもつ条件を考えることもできる．
0≦u≦1 に解を持つとき，次の三つのうち少なくとも一つを満たす．

B1. 0≦u≦1 に（重解を含む）二つの解をもつ．つまり D≧0 かつ 0<放物線の軸(u = x/2)<1 かつ f(0)>0 かつ f(1)>0.

B2. 0≦u≦1 と 1≦u にそれぞれ（u=1の重解を含む）解をもつ．つまり f(0)≧0 かつ f(1)≦0.

B3. 0≦u≦1 と u≦0 にそれぞれ（u=0の重解を含む）解をもつ．つまり f(0)≦0 かつ f(1)≧0.

このB2, B3 は合わせて f(0)f(1)≦0 とすることもできます．（f(0)とf(1)の符号が違えば，0から1の間のどこかでグラフと横軸が交わる．）
No.78207 - 2021/09/15(Wed) 18:33:04
☆ Re: / 編入受験生
関数電卓さんのやり方は、非常に技巧的で二次関数の性質をうまく利用していて素晴らしいと思います。
私は循環論法に見えたので。
しかし、結局のところそのようなやり方だと、論証がとても大変になってしまうと思います。

以下文字固定の方法で示します。


0<=u<=1のもとで,yをuの関数f(u)=と見立てると,
xを固定する限り,y = f(u)は最大値f(u_1)と最小値f(u_0)が必ず存在する.ただし,u=u_1で最大,u=u_0で最小となるものとする.
また,f(u)はuの二次関数であるから連続であるので,
中間値の定理よりy=f(u)はf(u_0)からf(u_1)の間の全ての値を取る.
よって,y=f(u)の最小値と最大値を求めればよい.
f(u)をuで微分すると,f'(u) = -2x+4uより,
極値の候補はf'(u) = 0となる点だから,
u = x/2のとき.
これを0<=u<=1に代入すると,
0<=x<=2となるから,その場合のみf(u)は極値の候補をもつ.
また,f'(u)は傾き正の一次関数だから,常に増加するので,
f'(u)はu = x/2を境に負から正へと変わる.
∴0<=x<=2のもとで,u = x/2のとき最小値を取るすなわち
f(x/2)= x^2/2 - x^2 + x^2 - 1 = x^2/2 - 1は最小値.
あとは,最小値・最大値の候補は端点しかないから,
f(0)とf(1)を比較すればよい.
f(0) = x^2-1 >= f(1) = x^2 -2x + 1 = (x-1)^2とおいて,
同値変形するとx>=1となるから,
f(0)<=f(1)となるのは,x<=1のとき.

これより,
曲線Ｃは以下の範囲を動く.

x<=0のとき, x^2-1<=y<=(x-1)^2の間を動き,
0<=x<=1のとき, x^2/2-1<=y<=(x-1)^2の間を動き,
1<=x<=2のとき,x^2/2-1<=y<=x^2-1の間を動き,
2<=xのとき,(x-1)^2<=y<=x^2-1の間を動く.

あと、二次関数にならない問題には適用できないので、
応用の観点からでも文字固定の方法で解いたほうがいいです。
No.78208 - 2021/09/15(Wed) 18:41:42
☆ Re: / 関数電卓
ｍさん，ご指摘有り難うございます。
　ご指摘の A2 が x＜0，A3 が 2＜x
なので，修正図を再掲します。
No.78210 - 2021/09/15(Wed) 19:34:58
☆ Re: / 編入受験生
グラフはこんな感じになります。
No.78211 - 2021/09/15(Wed) 19:45:05
☆ Re: / 編入受験生
> ｍさん，ご指摘有り難うございます。
> 　ご指摘の A2 が x＜0，A3 が 2＜x
> なので，修正図を再掲します。

(5)かつ(6)ですよ。
（5）の場合でも、0<=u<=1の範囲でf(u)が解を持ちますから.
あまり適当なことをいうと、誤解しますからわからないなら解答しないほうがいいと思います.
そもそも、その方法で答案書く受験生の気持ちになるべきだと思います.
No.78212 - 2021/09/15(Wed) 19:49:36
☆ Re: / 編入受験生
> 0≦θ≦π/2 C;y=x²-2xcosθ＋cos2θのときCの通りうる範囲を図示したいのですがどうすればいいですか？

東大狙っているなら、文字固定で解くべき。
東大は領域問題頻出で、このやり方じゃないと時間絶対に間に合わない。
面積を求めるときもこのやり方が有利。

mさんは、二次関数のほうがやりやすいといってますが、
それは少ない知識でも解ける方法といっているだけで、
論証が簡単なのは文字固定です。
そういう意味でも、難関大受験生は早い時期に数３を終わらせているのだと思うよ。
まあ、これだけ言ってもわからないのであればおすきにどうぞという感じですが。
No.78213 - 2021/09/15(Wed) 20:20:47
☆ Re: / 関数電卓
皆さん，有り難うございました。
今更ながらの板汚しですが，自分で蒔いた種は修正しておきますね。

ｍさんの A1 → 私の No.78202 の (5) かつ (6) かつ 0≦x≦2 …(7)
ｍさんの A2 → x＜0 かつ y＜x^2−1 …(8)
ｍさんの A3 → 2＜x かつ y＜(x−1)^2 …(9)
(3)から(7)(8)(9)を除き，求める領域は下図の通り。

（ｍさんの B 方式の方が無難でした。）
No.78218 - 2021/09/15(Wed) 22:46:12