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記事No.78302に関するスレッドです
★ 分数漸化式の質問 / ちびすけ
以下のような分数漸化式の解き方を教えてください。

分数型の漸化式は勉強しましたが、自分ではこの漸化式を解ける形に変形できませんでした。
No.78234 - 2021/09/16(Thu) 18:29:38
☆ Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
冒頭の漸化式には，何か自然現象もしくは社会現象に由来する背景があるのでしょうか？
与式のままでは余りに一般的すぎて，私にはとても一般項は求められませんが，定数(β等)が数値で与えられ，初期値が与えられれば，(収束するならば)極限を探るヒントなどお伝え出来るかもしれません。
No.78254 - 2021/09/17(Fri) 11:50:15
☆ Re: 分数漸化式の質問 / ちびすけ
返信ありがとうございます。

これは経済学からのインフレーションを説明するモデルの一つなんです。

取り合えず自分で色々理解しようと図解した物と、Desmosで実際に数値を入力したやつを張り付けておきます。
リンク↓
https://www.desmos.com/calculator/hn8gkj3dti

使っている記号が経済学的な物になっているので、混乱させてしまうかもしてません。
一応画像内に大体の説明は入れてみました。

よろしくお願いいたします
No.78256 - 2021/09/17(Fri) 12:53:12
☆ Re: 分数漸化式の質問 / ちびすけ
解きたい式・元々投稿した式を、経済学的に書き直すと以下のようになります。

これをｔの式にしたいんです。

お手数をおかけします。
No.78257 - 2021/09/17(Fri) 13:13:28
☆ Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
リンク先は拝見しました。が，門外漢に理解できるものではありません。
（私に出来る範囲で）
与式 …(1) は
　a[n]−ε＝b[n]
と置くと
　b[n＋1]＝pb[n]＋q/b[n]＋r …(2)
の形に変形できます。p,q,r は β〜ε からなる面倒なものです。時間がありましたらご確認下さい。
(2)式の方が，b[n] の振る舞いの本質に迫りやすい形です。
以降「迫る」方法を明日夜に書きますので，その間お気づきのことがありましたらお書き下さい。
No.78270 - 2021/09/17(Fri) 23:54:46
☆ Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
上で(2)のように書きましたが，私がグラフ作成に用いているソフト grapes の仕様に合わせて，改めて

与式 …(1) は
　a[n＋1]＝a(a[n]−d)＋b/(a[n]−d)＋c …(2)
の形に変形できます。a,b,c,d は β〜εにより定まる定数です。(2)に対し
　y＝a(x−d)＋b/(x−d)＋c …(3)
を定め，一例として図中のように a〜d を定めると(3)のグラフは図のようになります。
初期値 a[1] を図のように定めると，漸化式(2)で定まる後々の値は，図のように(3)と y＝x の間を階段状に変化していきます。
これは各項の値の変化を２次元的にイメージする方法ですが，数値だけで良ければ，Excel で計算するだけで済みます。ただ，パラメータ a〜d を微妙に変化させたときの(3)の変化をすぐ見ることは大変有効かと思い，書かせていただきました。お役に立たなかった場合には，悪しからず。
　
No.78302 - 2021/09/18(Sat) 22:35:53