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記事No.78309に関するスレッドです
★ 高2、最大最小問題です。 / はる
解き方、解答ともわからないので、質問させていただきました。全部でなくてもいいので、教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
No.78309 - 2021/09/19(Sun) 11:51:02
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?@
x+y=π/3
より
y=π/3-x (A)
これと
y≧0
により
π/3-x≧0
∴これとx≧0により
0≦x≦π/3 (B)
又(A)により
cosx+cosy=cosx+cos(π/3-x)
=2cos(π/6)cos(x-π/6) (∵)和積の公式
=(√3)cos(x-π/6)
ここで(B)より
-π/6≦x-π/6≦π/6
∴求める最大値は3/2(このとき(x.y)=(π/3,0),(0,π/3))
No.78310 - 2021/09/19(Sun) 12:58:54
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?A
0≦x≦1 (A)
0≦y≦1 (B)
とします
(B)より少なくとも
0≦y
ゆえ(A)から
-y^2≦(x^2)y-y^2≦y-y^2
-y^2≦(x^2)y-y^2≦-(y-1/2)^2+1/4
∴(B)より問題の関数の
最大値は-1(このとき(x,y)=(0,1))
最小値は1/4(このとき(x,y)=(1,1/2))
No.78311 - 2021/09/19(Sun) 13:03:24
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?E
x＞0,y＞0から
x=rcosθ
y=rsinθ
(0＜r,0＜θ＜π/2)
と置くことができるので
(x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(1-sinθcosθ)/(1+sinθcosθ)
=(2-sin2θ)/(2+sin2θ)
=4/(2+sin2θ)-1
ここで
0＜θ＜π/2
により
0＜2θ＜π
∴問題の関数の最大値は存在しません。
No.78312 - 2021/09/19(Sun) 13:07:28
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?D
x+y+2z=1 (A)
x^2+y^2+4z^2=3 (B)
とします。
(B)より
(x+y+2z)^2-2(xy+2yz+2zx)=3
これに(A)を代入して
xy+2yz+2zx=-1 (C)
又
u=xyz
と置くと
2xyz=2u (D)
(A)(C)(D)と三次方程式の解と係数の関係
からx,y,2zはtの三次方程式
t^3-t^2-t-2u=0 (E)
の実数解。
∴(E)が実数解のみを持つ条件を求めます。
f(t)=t^3-t^2-t-2u (F)
と置くと
f'(t)=3t^2-2t-1
=(3t+1)(t-1)
∴f(t)が
極大値f(-1/3)=-11/27-2u
極小値f(1)=-1-2u
を取ることに注意して、
横軸にt、縦軸にf(t)を取った(F)のグラフ
を考えることにより
-11/27-2u≧0 (G)
-1-2u≦0 (H)
(G)(H)より
-1/2≦u≦-11/54
∴求める最大値、最小値はそれぞれ
-11/54,-1/2
No.78313 - 2021/09/19(Sun) 13:25:10
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?F
u^2-3≦v≦(1/4)u^2 (A)
とします。
v-2u=k (B)
(kは定数)
と置き,横軸にu,縦軸にvを取った座標平面上で
領域(A)と直線(B)が共有点を持つ条件を
考えます。
kが(B)のy切片であることに注意すると
(i)kが最大のとき
直線(B)は(A)(B)の境界線である
v=u^2-3
v=(1/4)u^2
の交点の一つである
点(-2,1)
を通るときで
k=5

(ii)kが最小のとき
直線(B)は(A)(B)の境界線である
v=u^2-3 (C)
と接しています。
さて(C)より
v'=2u
∴接点のu座標について
2u=2
∴u=1
これを(C)に代入することにより
接点の座標は
(1,-2)
∴このときのkの値は
k=-4

以上から
最大値は5,最小値は-4
No.78314 - 2021/09/19(Sun) 13:32:56
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / IT
?E　三角関数を使わない方法
x＞0、ｙ＞0のとき
与式＜1であり、
ｙ＝1のとき　
　与式＝(x^2-x+1)/(x^2+x+1)
　　　＝1-2x/(x^2+x+1)
　　　＝1-2/(x+1+(1/x)) →　1 (x→∞)
なので最大値を持たない。
No.78315 - 2021/09/19(Sun) 13:40:57
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?C
x^2+xy+y^2≦3 (A)
とします。
x+y=u
xy=v
と置くと、解と係数の関係から
x,yはtの二次方程式
t^2-ut+v=0 (B)
の実数解ですので(B)の解の判別式を
Dとすると
D=u^2-4v≧0 (C)
一方(A)より
u^2-v≦3 (D)
(C)(D)より
u^2-3≦v≦(1/4)u^2 (E)
一方
xy-2x-2y=v-2u
∴これは?Fと同じ問題に帰着します。
No.78316 - 2021/09/19(Sun) 13:46:35
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?B
A＞0 (A)
B＞0 (B)
A+B＜π (C)
とします。
まずは前準備。
(A)(B)(C)から
0＜(A+B)/2＜π/2 (C)
又
A-B=k (D)
と置き、横軸にA,縦軸にBを取った
座標平面上で、領域(A)かつ(B)かつ(C)
と直線(D)との共有点を考えることにより
-π＜A-B＜π
∴-π/2＜(A-B)/2＜π/2 (E)
さて
sin(A/2)sin(B/2)cos{(A+B)/2}
=-(1/2){cos{(A+B)/2}-cos{(A-B)/2}}cos{(A+B)/2} (F)
∴
cos{(A+B)/2}=x
cos{(A-B)/2}=y
と置くと(C)(E)から
0＜x＜1 (C)'
0＜y＜1 (D)'
で
(F)=-(1/2)(x-y)x
=(1/2)xy-y^2
(C)'(D)より
-y^2＜(F)＜(1/2)y-y^2
∴求める最大値は存在しません。
No.78317 - 2021/09/19(Sun) 14:06:25
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / IT
?B は最大値があると思います。
（簡単のため）a=A/2,b=B/2 とおくと、a+b<π/2

与式=sin(a)sin(b)cos(a+b)＝(1/2)(cos(a-b)-cos(a+b))cos(a+b)
cos(a+b)> 0なので
a+bが一定のとき　
　与式はcos(a-b)=1 すなわち　a=b で
　最大 (1/2)(1-cos(2a))(cos(2a)) となる。
これは cos(2a)=1/2 ､すなわちa=b=π/6のとき 最大値　1/8 をとる。（このときa>0,b>0　a+b<π/2 を満たす）

Ｘさんの　、0＜y＜1 (D)'　はまちがいだと思います。
No.78318 - 2021/09/19(Sun) 22:23:12
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / はる
Xさん、ITさん、ありがとうございます。こんなにも早く返信していただけるとは思っていませんでしたので、返信遅くなってしまいすいません。本当にありがとうございます、また分からない事があったら質問させて下さい。よろしくお願いします。
No.78322 - 2021/09/20(Mon) 09:48:01
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>はるさんへ
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
ITさんの仰る通りです。
No.78349 - 2021/09/20(Mon) 16:51:04