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記事No.7838に関するスレッドです
★ 高校入試の問題です / rino
空間図形がものすごく苦手なので、少し細かく教えていただけると嬉しいです。

図のように１辺が１cmの立方において、４つの点Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈを結ぶと正四面体ＡＣＦＨができる。

(1)　正四面体ＡＣＦＨの体積を求めよ。
　　　　△ＡＦＨが正三角形であるのはわかるのですが、高さをどう求めていいのかがわかりません。

(2)　４つの点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｇを結ぶと、２つ目の正四面体ＢＤＥＧができる。正四面体ＡＣＦＨと、正四面体ＢＤＥＧの共通する部分の体積を求めよ。
　　　　
(3)　立方体の底面の４辺ＥＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＥの中点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとする。このとき、６つの点Ａ、Ｃ、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを結んでできる立体と、正四面体ＡＣＦＨの共通する部分の体積を求めよ。

頭で想像できず、どのような形になるのかがいまいちわかりません。やさしめに教えていただけると助かります。どうかよろしくお願いします。
No.7838 - 2009/09/05(Sat) 20:53:54
☆ とりあえず(1),(2) / angel
取り敢えず図を描いて、想像できない部分は図から読み取れる事実を元に補完していくしかないですね。

(1)については、元の立方体から、正四面体以外の部分を除いて行く考え方がわかり易いです。
添付の図のように、Bを含む角 ( 三角錐ABCF ) を取り除くと、正四面体の1つの面△ACFが現れます。
同様に、E,G,Dを含む角を取り除くと、残りは正四面体だけとなります。
ということは、正四面体の体積は、立方体から三角錐を4個引いたもの、と計算できます。

(2)については、正四面体同士の共通する部分なんてなかなか想像できないので、見えるところから攻めます。
それは、正四面体の辺同士の交点です。丁度、立方体の各面に1個ずつ交点があることが分かります。
すると、結局できる図形はそれらの交点を頂点とする図形…つまり、正八面体です。
体積としては、正四角錐2個分として計算できます。
No.7842 - 2009/09/06(Sun) 00:24:03
☆ (3)について / angel
最後の(3)は少しややこしいですね。
ストレートに解く方法が見当たらなかったので、段階的にいきます。

(2)と同じように、見える所に着目して、共通部分を割り出します。
今回は着目するのは底面、そこで判明する2交点X,Yを元にすると、添付の図のピンク部分が求める共通部分だと分かります。

この共通部分の体積は、図の青部分から、2個の四角錐を引いたものと計算できるのですが、では青部分の体積は? という計算が残ります。

青部分は、(1)と同じように、立方体から余分な周辺部分を除いて行く考え方で計算したいのですが、立体ABC-PFQ ( ACD-SRHも同様 ) をどうするか、が問題です。
ここで、立体ABC-PFQが、三角錐ZABCから三角錐ZPFQを除いた形だと気付けばO.K.です。

これでネタは全て出揃いましたので、答えが計算できます。
No.7843 - 2009/09/06(Sun) 01:14:29
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
丁寧に説明していただいてありがとうございます。(1)はまわりの三角錐４つが同じ形で、(2)は正八面体だったんですね。この２つの答えはわかりました。(3)はとても難しく感じます。どの立体の体積が同じかはよくわかりましたので、頭を整理しつつ解き進めてみようと思います。
No.7858 - 2009/09/06(Sun) 20:08:05