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記事No.78464に関するスレッドです
★ 数A / 確率
1, 2, 3, 4, 5, 6の番号をつけた6枚のカードがあり、片面は白, 片面は赤に塗られている.
はじめは, 1, 2, 3 のカードは白い面が表になるように, 4, 5, 6のカードは赤い面が表になるように置かれている.
サイコロを振って出た目の番号のカードを裏返す試行を繰り返す. 2n 回(偶数回)の試行後,白い面が表になっているカードの枚数について,3枚である確率を Pn, 1枚である確率を Qn, 5 枚である確率Rn とする.
(1) P1, R1, Q1を求めよ.
(2 n≧2に対して,Pn, Qn, Rn を求めよ.
(3) lim(n→∞) Pnを求めよ.

(1)はサイコロのます目の図を書いて求めたんですけど、(2)からどのようにして求めればいいのかわかりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.78461 - 2021/09/25(Sat) 19:51:55
☆ Re: 数A / X
(2)
条件から偶数回の試行を何回繰り返しても
白い面の枚数は奇数
であることに注意して
{P[n]},{Q[n]},{R[n]}についての漸化式
を立てます。

まず{P[n]}について。
P[n+1]={(5/6)(2/6)+1/6}P[n]+(3/6)(2/6)Q[n]
整理をして
P[n+1]=(4/9)P[n]+(1/6)Q[n] (A)
次に{Q[n]}について。
Q[n+1]=(5/6)(4/6)P[n]+2(3/6)(4/6)Q[n]+(5/6)(4/6)R[n]
整理をして
Q[n+1]=(5/9)P[n]+(2/3)Q[n]+(5/9)R[n] (B)
最後に{R[n]}について。
R[n+1]=(3/6)(2/6)Q[n]+{1/6+(5/6)(2/6)}R[n]
整理をして
R[n+1]=(1/6)Q[n]+(4/9)R[n] (C)
(A)(B)(C)を(1)の結果である
P[1]=1/6 (D)
Q[1]=2/3 (E)
R[1]=1/6 (F)
の下での連立漸化式として解きます。
(A)-(C)より
P[n+1]-R[n+1]=(4/9){P[n]-R[n]}
∴P[n]-R[n]={P[1]-R[1]}(4/9)^(n-1)
=0
∴R[n]=P[n] (G)
(G)と全確率=1により
2P[n]+Q[n]=1
∴Q[n]=1-2P[n] (H)
(H)を(A)に代入すると
P[n+1]=(1/9)P[n]+1/6
P[n+1]-3/16=(1/9)(P[n]-3/16)
∴P[n]=(P[1]-3/16)(1/9)^(n-1)+3/16
これに(D)を代入して(G)を使うと
P[n]=R[n]=-(1/48)(1/9)^(n-1)+3/16
∴(H)により
Q[n]=(1/24)(1/9)^(n-1)+5/8

(3)
(2)の結果より
lim[n→∞]P[n]=3/16
No.78463 - 2021/09/25(Sat) 21:44:17
☆ Re: 数A / 確率
>>xさんへ
自分はP[1]=2/3,Q[1]=1/6,R[1]=1/6になったのですが、やはり僕が間違っているのでしょうか？
No.78464 - 2021/09/25(Sat) 23:18:11
☆ Re: 数A / ヨッシー
>P[1]=2/3,Q[1]=1/6,R[1]=1/6
で合ってます。
Ｐ，Ｑ，Ｒ の順に１枚、３枚、５枚ではないところに注意ですね。
No.78465 - 2021/09/25(Sat) 23:37:33
☆ Re: 数A / X
＞＞確率さんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
No.78463でP[n]とQ[n]の立場を入れ替えて
修正したものを再度アップしておきます。

(2)
条件から偶数回の試行を何回繰り返しても
白い面の枚数は奇数
であることに注意して
{P[n]},{Q[n]},{R[n]}についての漸化式
を立てます。

まず全確率が1であることから
P[n]+Q[n]+R[n]=1 (A)
次に{Q[n]}について
Q[n+1]=(3/6)(2/6)P[n]+{(5/6)(2/6)+1/6}Q[n]
整理をして
Q[n+1]=(1/6)P[n]+(4/9)Q[n] (B)
最後に{R[n]}について
R[n+1]=(3/6)(2/6)P[n]+{1/6+(5/6)(2/6)}R[n]
整理をして
R[n+1]=(1/6)P[n]+(4/9)R[n] (C)
(A)(B)(C)を(1)の結果である
P[1]=2/3 (D)
Q[1]=1/6 (E)
R[1]=1/6 (F)
の下での連立漸化式として解きます。
(B)-(C)より
Q[n+1]-R[n+1]=(4/9){Q[n]-R[n]}
∴Q[n]-R[n]={Q[1]-R[1]}(4/9)^(n-1)
=0
∴R[n]=Q[n] (G)
(G)を(A)に代入して
2Q[n]+P[n]=1
∴P[n]=1-2Q[n] (H)
(H)を(B)に代入すると
Q[n+1]=(1/9)Q[n]+1/6
Q[n+1]-3/16=(1/9)(Q[n]-3/16)
∴Q[n]=(Q[1]-3/16)(1/9)^(n-1)+3/16
これに(E)を代入して(G)を使うと
Q[n]=R[n]=-(1/48)(1/9)^(n-1)+3/16
∴(H)により
P[n]=(1/24)(1/9)^(n-1)+5/8

注)
解答の流れから{P[n]}についての漸化式を書くべきところですが
No.78463を見直すと、詳しく書いても結局
全確率=1
となる結果を導くことだけに使うことになり、過程が冗長
になるので、敢えて書かないように修正しました。


(3)
(2)の結果より
lim[n→∞]P[n]=5/8
No.78469 - 2021/09/26(Sun) 10:00:05
☆ Re: 数A / 確率
xさん、ヨッシーさん、お二方とも丁寧に教えていただきありがとうございました。本当に助かりました。
No.78471 - 2021/09/26(Sun) 20:36:00