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記事No.78500に関するスレッドです
★ 極限について / ぴーたろー
こんにちは。
画像の問題について、解説含めて理解はしていますが、そもそものスタートの段階で分母分子をｎで割って

lim(n→∞)[2/{2-(1/n)]^(3n)

と考えてn→∞のとき1^∞より極限は1ではだめなのかと疑問を持ちました。
なぜだめなのか教えてください。よろしくお願いいたします。
No.78500 - 2021/09/28(Tue) 07:56:25
☆ Re: 極限について / 高校三年生
おお！仲間がいた！

直観的には、「１」なんだよね。
私が納得した説明は、二項定理による級数展開。
ネイピア数は、

e = lim[n→∞]{(1+1/n)^n}

が元々の定義だけど、

e = 1 + 1/1! + 1/2! +・・・+ 1/n! +・・・

もよく使われる定義なんですよ。
あと、関数f(x)について、

f(x) = x・log(1+1/x)

の場合の、曲線 y=f(x)の漸近線が y= 1になるってのも、
理解の仕方の一つ。

と思うけど、間違ってたらごめんなさい。(-_-;)
No.78501 - 2021/09/28(Tue) 08:44:49
☆ Re: 極限について / m
（気持ちはわかるが）1^∞ = 1 という直感はよくないかも．∞/∞ = 1 と同じくらいよくない！
例えば (2^(1/n))^(n) や (2^(1/n))^(n^2) も 1^∞ の形をしていますが，どちらも 1 に収束しません．

ところで不定形はご存じですか．n→∞ としたときに 0/0, ∞/∞, ∞*0, ... の形になるものをそう呼びます．
そして 1^∞ も不定形です．

形式的には log をとって
log(1^∞) = ∞ * log(1) = ∞ * 0
となるから不定形であると説明してもいいです．
No.78505 - 2021/09/28(Tue) 10:42:34