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記事No.78597に関するスレッドです
★ (No Subject) / ddd
写真の条件においてt=cos2xとするとき、?Aを満たすxの値が全部で6個あるようなaの範囲が3/4<a<1となる理由を詳しく知りたいです。
No.78597 - 2021/10/01(Fri) 21:52:50
☆ Re: / X
条件のとき、半角の公式により
(cosx)^2=(1+t)/2
∴?Aは
1+t+t^2=a
t^2+t+1-a=0 (A)
ここで
0≦x＜3π/2
より
0≦2x＜3π
∴-1≦t≦1 (B)
であり
t≠1,-1のとき、tの値1つに対し、xの値が3個対応し
t=1,-1のとき、tの値1つに対し、xの値が2個対応する
ことに注意すると、求める条件は

tの二次方程式(A)が
-1＜t＜1 (B)'
において、異なる2つの実数解を持つ条件

となります。
後は
f(t)=t^2+t+1-a
と置き、
横軸にt,縦軸にf(t)を取ったグラフが
t軸と(B)'の範囲で2個交点を持つ条件
を求めることを考えます.
このグラフの軸が
t=-1/2
で(B)'の範囲内にあることに
注意すると、まず(A)の解の判別式
をDとして
D=1-4(1-a)＞0 (C)
次に
f(-1)=1-a＞0 (D)
f(1)=3-a＞0 (E)
(C)(D)(E)を連立して解き
3/4＜a＜1
となります。
No.78601 - 2021/10/02(Sat) 07:42:12