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記事No.78630に関するスレッドです
★ 平面ベクトル / Nao
添付の(2)の5と6がわかりません。

(1)は、cosθ=2√2/3、S=√2
(2)は、2:1に外分
が正答です。

自分は(2)を、ベクトルでの解き方がわからず、中学数学の三平方の定理で解きました。
具体的には、△OCAと△OCBの共通の垂線OCをh、CA:CBをt:1-tとおき、△OCAと△OCBで三平方の式をそれぞれ立て、連立して解くと、t=7/2となり、答えは「7:5に外分」となったのですが。。。
No.78630 - 2021/10/04(Mon) 00:25:21
☆ Re: 平面ベクトル / X
ではベクトルを使った方針を。

条件からCは直線AB上の点ですので
↑OC=(1-t)↑OA+t↑OB (A)
と置くことができます。
ここで条件から
↑OC⊥↑AB
∴↑OC・↑AB=0
↑OC・(↑OB-↑OA)=0 (B)
(B)に(A)を代入して、左辺を展開し
|↑OA|=2√3
|↑OB|=√6
↑OA・↑OB=8
を代入してtの方程式を導き、解きます。
その結果を(A)に代入して、
内分点、外分点のベクトルによる公式
を使います。
No.78647 - 2021/10/04(Mon) 19:13:11
☆ Re: 平面ベクトル / Nao
Xさま

ありがとうございます！
自分でイチから計算して解けました！

知りたかったベクトルでの解法は理解できたのですが、中学数学の三平方の定理を用いた解き方だと何故異なる結果になるのかがわからないのですが、おわかりになればお教えいただけると助かります。
No.78671 - 2021/10/05(Tue) 20:41:02
☆ Re: 平面ベクトル / X
三平方の定理を使って解いても
t=7/2
とはなりません。

CA:CB=t:1-tと置き、△OAC,△OBCに辺OCに注目した
三平方の定理を使うと
OA^2-(tAB)^2=OB^2-{(1-t)AB}^2 (A)
ここで△OABにおいて余弦定理により
AB^2=OA^2+OB^2-2↑OA・↑OB
=2
∴(A)から
12-2t^2=6-2(1-t)^2
これより
6-t^2=3-(1-t)^2
∴t=2
となります。
No.78677 - 2021/10/06(Wed) 06:03:11
☆ Re: 平面ベクトル / Nao
Xさま

解説ありがとうございます！

以下の考え方のどこに誤りがあるのか教えていただけないでしょうか。

角Cが直角の△OACと△OBCにおいて、共通の垂線OCをh、AC=t、BC=1-tとおくと、
△OAC h^2=12-t^2
△OBC. h^2=6-(1-2t-t^2)
12-t^2= 6-(1-2t-t^2)
t=7/2
No.78683 - 2021/10/06(Wed) 21:11:52
☆ Re: 平面ベクトル / ヨッシー
・実際は外分なのに内分として扱っている
・比の値であるｔを辺の長さとして扱っている
の２点が主な誤りです。
No.78745 - 2021/10/10(Sun) 05:51:13