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記事No.78644に関するスレッドです

数A / X
解答解説お願いします!!
No.78644 - 2021/10/04(Mon) 18:02:08

Re: 数A / ヨッシー
(1)
Aから見て、勝ち、負け、あいこが 1/3 ずつなので、
1回目で勝者が決まるのは 2/3
1,2回目があいこで、3回目に決まるので
 1/3×1/3×2/3=2/27
(2)
1人勝ち、2人勝ち、あいこが1/3ずつなので、
1回で決まるのは 1/3
あいこ、1人勝ちの確率 1/3×1/3=1/9
2人勝ち、1人勝ちの確率 1/3×2/3=2/9
合わせて 1/3

n回目に
優勝者が決まる確率をP[n]
2人残っている確率をQ[n]
3人残っている確率をR[n] とします。このとき
 P[n+1]=(2/3)Q[n]+(1/3)R[n] ・・・(i)
 Q[n+1]=(1/3)Q[n]+(1/3)R[n] ・・・(ii)
 R[n+1]=(1/3)R[n]   ・・・(iii)
 P[0]=Q[0]=0,R[0]=1
と書けます。
(iii) より
 R[n]=(1/3)^n
(ii) に代入して
 Q[n+1]=(1/3)Q[n]+(1/3)^(n+1)
Q[1]=1/3, Q[2]=2/9、Q[3]=3/27、Q[4]=4/81
より Q[n]=n/3^n と予測できます。ただし、n≧1。
 Q[1]=1/3^1=1/3
n=k のとき、Q[k]=k/3^k であるとき、
 Q[k+1]=(1/3)(k/3^k)+(1/3)^(k+1)=(k+1)/3^(k+1)
よって、任意の自然数nに対し Q[n]=n/3^n が成り立ちます。
(i)に代入して
 P[n+1]=(2/3)(n/3^n)+(1/3)(1/3)^n
   =(2n+1)/3^(n+1)
nを1減らして
 P[n]=(2n−1)/3^n

No.78704 - 2021/10/07(Thu) 21:06:12