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記事No.78754に関するスレッドです

(No Subject) / りく
写真の式で、数列{f(k)}が増加数列になることを示せ。

どうしたらいいのか全く分からず手をつけられないでいます。解き方をわかりやすく教えていただけたらありがたいです。よろしくお願い致します。

No.78754 - 2021/10/10(Sun) 21:33:50

Re: / りく
f(k+1)/f(k)を計算しようとしたのですが、途中で行き詰まってしまいました。
No.78756 - 2021/10/10(Sun) 21:58:39

Re: / IT
元に戻って二項展開で考えるとどうですか?
No.78757 - 2021/10/10(Sun) 22:28:17

Re: / IT
類例として、自然対数の底e=lim[n→∞](1+(1/n))^n の存在証明の一部を使います。

a[n]=(1+(1/n))^n
=1+C(n,1)(1/n)+C(n,2)(1/n)^2+...+C(n,n)(1/n)^n
=1+1/1!+(1/2!)(1-(1/n))+...+(1/n!)(1-(1/n))...(1-(n-1)/n)
a[n]を二項展開したときの各項は正で項数が増加し、対応する各項は増加なので、a[n]は単調増加

No.78758 - 2021/10/10(Sun) 22:33:50

Re: / りく
類例までありがとうございます。
類例の式展開が理解できないのですが、どうなっていますか?
何度もすみません!

No.78759 - 2021/10/10(Sun) 22:48:36

Re: / IT
どこから分かりませんか?
3行目の途中から分からないのなら、
例えばC(6,3)(1/6)^3 をできるところまで書き下してみてください。先頭には(1/3!) を出します。

No.78761 - 2021/10/10(Sun) 23:10:45

Re: / りく
3行目が分かりません。
計算してみたのですが、間違っていますか?

No.78763 - 2021/10/10(Sun) 23:46:43

Re: / IT
> 計算してみたのですが、間違っていますか?
合ってますが、1行目の次は
=(1/3!)(6/6)(5/6)(4/6)
=(1/3!)(1-(1/6))(1-(2/6)) とします。

同様に、C(7,3)(1/7)^3 =(1/3!)(1-(1/7))(1-(2/7))となり
C(6,3)(1/6)^3 < C(7,3)(1/7)^3 が分かります。

なお、元の問題は、f(k)^2=(1+(1/2k))^(2k) としてNo.78758をそのまま使って{f(k)^2}が増加数列であることを示す方が見通しが良いかも知れません。

No.78764 - 2021/10/10(Sun) 23:48:45

Re: / りく
類例は理解できました!
その方法でやってみます。
ありがとうございます!

No.78766 - 2021/10/11(Mon) 00:06:47