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記事No.78756に関するスレッドです
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(No Subject)
/ りく
引用
写真の式で、数列｛f(k)｝が増加数列になることを示せ。
どうしたらいいのか全く分からず手をつけられないでいます。解き方をわかりやすく教えていただけたらありがたいです。よろしくお願い致します。
No.78754 - 2021/10/10(Sun) 21:33:50
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Re:
/ りく
引用
f(k＋1)/f(k)を計算しようとしたのですが、途中で行き詰まってしまいました。
No.78756 - 2021/10/10(Sun) 21:58:39
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Re:
/ IT
引用
元に戻って二項展開で考えるとどうですか？
No.78757 - 2021/10/10(Sun) 22:28:17
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Re:
/ IT
引用
類例として、自然対数の底ｅ＝lim[n→∞](1+(1/n))^n の存在証明の一部を使います。
a[n]=(1+(1/n))^n
=1+C(n,1)(1/n)+C(n,2)(1/n)^2+...+C(n,n)(1/n)^n
=1+1/1!+(1/2!)(1-(1/n))+...+(1/n!)(1-(1/n))...(1-(n-1)/n)
a[n]を二項展開したときの各項は正で項数が増加し、対応する各項は増加なので、a[n]は単調増加
No.78758 - 2021/10/10(Sun) 22:33:50
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Re:
/ りく
引用
類例までありがとうございます。
類例の式展開が理解できないのですが、どうなっていますか？
何度もすみません！
No.78759 - 2021/10/10(Sun) 22:48:36
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Re:
/ IT
引用
どこから分かりませんか？
３行目の途中から分からないのなら、
例えばC(6,3)(1/6)^3 をできるところまで書き下してみてください。先頭には(1/3!) を出します。
No.78761 - 2021/10/10(Sun) 23:10:45
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Re:
/ りく
引用
3行目が分かりません。
計算してみたのですが、間違っていますか？
No.78763 - 2021/10/10(Sun) 23:46:43
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Re:
/ IT
引用
> 計算してみたのですが、間違っていますか？
合ってますが、１行目の次は
＝(1/3!)(6/6)(5/6)(4/6)
＝(1/3!)(1-(1/6))(1-(2/6)) とします。
同様に、C(7,3)(1/7)^3 ＝(1/3!)(1-(1/7))(1-(2/7))となり
C(6,3)(1/6)^3 ＜ C(7,3)(1/7)^3 が分かります。
なお、元の問題は、f(k)^2=(1+(1/2k))^(2k) としてNo.78758をそのまま使って{f(k)^2}が増加数列であることを示す方が見通しが良いかも知れません。
No.78764 - 2021/10/10(Sun) 23:48:45
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Re:
/ りく
引用
類例は理解できました！
その方法でやってみます。
ありがとうございます！
No.78766 - 2021/10/11(Mon) 00:06:47
