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記事No.78826に関するスレッドです

完全な解答を作成して欲しいです。 / 数学
条件に漏れのない解答が見てみたいです。もしお時間あればお願いします。。
No.78824 - 2021/10/14(Thu) 22:45:54

Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / けんけんぱ
1.
Σ[i=1→n]g[i]=1 と問題にありますが、手書き部分は必要なんですか?

No.78825 - 2021/10/14(Thu) 23:50:36

Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 数学
> 1.
> Σ[i=1→n]g[i]=1 と問題にありますが、手書き部分は必要なんですか?


正の実数aiについて定義し直してるだけかと思います。

No.78826 - 2021/10/15(Fri) 00:00:51

Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓
2.(1)
任意の実数 t と,f の周期α(>0) に対し,t/α を超えない最大の整数を n とすると,
 n≦t/α<n+1 ∴ nα≦t<(n+1)α …<1>
が成り立つ。このとき,
 ∫[t,t+α]f(θ)dθ ←以下,f(θ)dθ を省略します。
  =∫[t,(n+1)α]+∫[(n+1)α,t+α] (∵<1>)
  =∫[t,(n+1)α]+∫[nα,t] (∵周期性)
  =∫[nα,(n+1)α]
  =∫[0,α]f(θ)dθ [証了]
(2)
 acosθ+bsinθ=√(a^2+b^2)cos(θ−β) …<2> (ただし tanβ=b/a)
 ∫[0,2π]g(acosθ+bsinθ)dθ
  =∫[0,2π]g(√(a^2+b^2)cos(θ−β))dθ (∵<2>)
  =∫[β,2π+β]g(√(a^2+b^2)cosψ)dψ (θ−β=ψ と置いた)
  =∫[0,2π]g(√(a^2+b^2)cosθ)dθ (∵(1)の結果) [証了]

No.78835 - 2021/10/15(Fri) 18:42:38

Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓
2.(3) pq のなす角をφとすると
 pq=acosθ+bsinθ=√(a^2+b^2)・1・cosφ
 ∴ t(θ)=cosφ=(acosθ+bsinθ)/√(a^2+b^2)=cos(θ−β) (ただし tanβ=b/a)
 ∴ I=∫[0,π]|t(θ)|dθ
   =(1/2)∫[0,2π]|cos(θ−β)|dθ
   =(1/2)∫[0,2π]|cosθ|dθ (∵(2)の結果)
   =2

No.78842 - 2021/10/15(Fri) 21:01:51

Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓
1.(1)
 f(x)=x−1−log(x)
と置くと,
 f’(x)=1−1/x
0<x<1 のとき f’(x)<0,1≦x のとき f’(x)≧0
であるから,f(x) は x=1 で最小値 f(1)=0 をとる。
よって,f(x)≧0 ∴ log(x)≦x−1 [証了]
(2)
 I=Σp[i]log(p[i]),J=Σp[i]log(q[i])
と置くと,
 J−I=Σp[i]{log(q[i])−log(p[i])}
   =Σp[i]log(q[i]/p[i])
   ≦Σp[i](q[i]/p[i]−1) (∵(1)の結果)
   =Σ(q[i]−p[i])
   =Σq[i]−Σp[i]
   =1−1
   =0
 ∴ I≧J,Σp[i]log(p[i])≧Σp[i]log(q[i])
    (等号は 1≦i≦n のすべての i について p[i]=q[i] のとき成立) [証了]

No.78844 - 2021/10/15(Fri) 23:31:22

Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓
1.(3)
1≦i≦n のすべての i について q[i]=1/n とおくと,Σq[i]=1 だから(2)の結果より
 Σp[i]log(p[i])≧Σp[i]log(q[i])
   =Σp[i]log(1/n)
   =−log(n)Σp[i]
   =−log(n)
以上より,F=Σp[i]log(p[i]) の最小値は −log(n)。(p[i]=1/n (i=1,…,n) のとき)
(4)
Σa[i]=A,p[i]=a[i]/A (i=1,…,n) とおくと,Σp[i]=1 で
(3)の結果から,Σp[i]log(p[i])≧−log(n)
よって,
 Σ(a[i]/A)log(a[i]/A)
  =(1/A)Σa[i](log(a[i])−log(A))
  =(1/A)Σa[i]log(a[i])−{log(A)/A}Σa[i]
  =(1/A)Σa[i]log(a[i])−log(A)
  ≧−log(n)
∴ Σa[i]log(a[i])≧A(log(A)−log(n))
以上より,
G=a[i]log(a[i]) の最小値は (Σa[i])(log(Σa[i])−log(n))。(a[1]=…=a[n] のとき)

No.78849 - 2021/10/16(Sat) 09:53:28