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記事No.78898に関するスレッドです
★ 数lll / ブライアント
楕円C1:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>0, b>0) は曲線 C2: y = e ^(-1)と1点で接する.
ただし,接するとは,C1とC2が1点Pを共有し,PにおけるC1の接線とPにおけるC2の接線が一致することである.
(1) 共有点のx座標をt とするとき, a, bをそれぞれ tを用いて表せ.
(2) C1がC2と1点で接しながら動くとき,C1の面積の最大値を求めよ.

この問題の模範解答を教えていただきたいです。
No.78877 - 2021/10/17(Sun) 12:35:00
☆ Re: 数lll / らすかる
解答ではないですが、
y=e^(-1)はx軸に平行な直線で、楕円がこれに接するならば
接点のx座標は明らかに0となり、aはtで表せません。
問題が間違っていませんか？
No.78879 - 2021/10/17(Sun) 13:17:56
☆ Re: 数lll / ブライアント
これが元の問題なんですけど、どうでしょうか？
No.78883 - 2021/10/17(Sun) 13:31:08
☆ Re: 数lll / らすかる
見直しても間違いがわかりませんでしたか？
No.78884 - 2021/10/17(Sun) 13:37:52
☆ Re: 数lll / ブライアント
はい、y=e^(-x)を見直してもわかりませんでした。何卒よろしくお願いします。
No.78886 - 2021/10/17(Sun) 14:54:32
☆ Re: 数lll / ヨッシー
なぜ、らすかるさんが
>x軸に平行な直線
と書かれたかですよね。
No.78888 - 2021/10/17(Sun) 17:05:53
☆ Re: 数lll / らすかる
> はい、y=e^(-x)を見直してもわかりませんでした。
どこを見直したのでしょうか。
ご自身の最初の書き込みに一字一句間違いがないかどうか、もう一度見直してみて下さい。
No.78889 - 2021/10/17(Sun) 17:51:39
☆ Re: 数lll / けんけんぱ
> はい、y=e^(-x)を見直してもわかりませんでした。
この返事はなんでしょう？全く不可解ですね。
No.78892 - 2021/10/17(Sun) 18:28:22
☆ Re: 数lll / 関数電卓
横から失礼します。
(1)
　C1：y＝b√(1−x^2/a^2) …<1>
　　 y’＝−b/a^2･x/√(1−x^2/a^2) …<2>
　C2：y＝e^(−x) …<3>
　　 y’＝−e^(−x) …<4>
C1, C2 が x＝t で接線を共有 ⇔
<3><1> より
　e^(−t)＝b√(1−t^2/a^2) …<5>
<4><2>より
　−e^(−t)＝−b/a^2･t/√(1−t^2/a^2) …<6>
<5><6>より b を消去すると（ややメンドウな計算の末）
　a^2＝t^2＋t ∴ a＝√(t^2＋t) …<7>
<5><7>より
　b^2＝(t＋1)e^(−2t) ∴ b＝√(t＋1)･e^(−t) …<8>
(2)
楕円の面積 S は，S＝πab。
　f(t)＝(ab)^2＝t(t＋1)^2･e^(−2t) …<9>
と置くと
　f’(t)＝−(t＋1)(2t＋1)(t−1)e^(−2t) …<10>
<10>をもとに f(t) の増減を調べて
　f(t) は t＝1 のとき最大値 f(1)＝4e^(−2)
以上より，S の最大値は 2π/e

※ ↑は，途中計算をかなり省いてあります。
※ 初めは「こんなの解けるのか?!」と思いましたが，割ときれいな結果が出るものです。
No.78898 - 2021/10/17(Sun) 21:14:43