| I＝∫(−∞,∞){(x^2＋y^2＋(z−a)^2}^(−3/2)da …(1)
被積分関数は偶関数，x^2＋y^2 は定数 (＝A^2 と置く)，a∈(−∞,∞)⇔a−z∈(−∞,∞) だから
I’＝∫[0,∞)(A^2＋a^2)^(−3/2)da …(2)
と置くと，I＝2I’…(3)
a＝A(e^t−e^(−t))/2 と置くと
a^2＋A^2＝{(A/2･(e^t＋e(−t))}＾2，da＝A/2･(e^t＋e^(−t))dt, a∈[0,∞)⇔t∈[0,∞)
∴ I’＝(4/A^2)∫[0,∞){1/(e^t＋e^(−t))^2}dt
＝(4/A^2)∫[0,∞){e^(2t)/(e^(2t)＋1)^2}dt
＝(2/A^2)∫[1,∞){1/(u＋1)^2}du ← e^(2t)＝u と置いた t∈[0,∞)⇔u∈[1,∞)
＝(2/A^2)[−1/(u＋1)][1,∞]
＝1/A^2
∴ I＝2/A^2＝2/(x^2＋y^2)
※ 省略せずに書きましたので，自分で鉛筆をもって式を辿って下さい。
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No.79007 - 2021/10/22(Fri) 16:15:22 |
