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記事No.7901に関するスレッドです

確率 / たかし
xy平面において、Oは原点、Pは曲線x^2+y^2=4(x≧0、y≧0)上を点(2,0)から点(0.2)間で動く点とする。OPを1:2に内分する点をHとする。HをとおりOPに垂直な直線と放物線y=x^2−13/3 との交点で、x座標が正の交点をQとする。
(1)Qのとりうる値の範囲を求めよ
(2)△OPQの面積が最小となるときのQのx座標と、このときの△OPQの面積を求めよ

このもんだいを教えてください
よろしくおねがいします

No.7897 - 2009/09/10(Thu) 19:17:13

この問題が確率の問題である確率はゼロです。 / ヨッシー
(1)
Hを通りOPに垂直な直線は、
原点中心、半径2/3 の円のx≧0、y≧0 部分から引いた
接線となります。
図より、Qのx座標が最小となるのは、Hが(2/3, 0) のときで、
そのときのQの座標は(2/3, -35/9)
Qのx座標が最大となるのは、Hが(0, 2/3) のときで、
そのときのQの座標は(√5, 2/3)
Qは、この範囲を動きます。

(2)
OPを底辺とすると、高さはHQに当たります。
OPは一定なので、HQが最小のとき△OPQの面積は最小になります。
さらに、△OHQ は直角三角形であり、
 OQ^2=OH^2+HQ^2=(2/3)^2+HQ^2
であるので、OQが最小のとき、HQも最小になります。

Q(x,x^2−13/3) とすると、
 OQ^2=x^2+(x^2−13/3)^2
   =x^4−(23/3)x^2+169/9
   =(x^2−23/6)^2+49/12
よって、x=√(23/6) のとき、OQの最小は 7/2√3
Qの座標は、(√(23/6), -1/2)

これは、(1) で求めたQの範囲に入っているので、これが最小。
このとき、
 HQ^2=OQ^2−OH^2
  =49/12−4/9=131/36
よって、HQ=(√131)/6
△OPQ=(1/2)×OP×HQ=(√131)/6

No.7901 - 2009/09/11(Fri) 09:40:19

Re: 確率 / たかし
ありがとうございがした
動く図までのせていただいて、その親切心には心からの敬意を表します

No.7916 - 2009/09/11(Fri) 21:34:07