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記事No.7901に関するスレッドです
★ 確率 / たかし
ｘｙ平面において、Ｏは原点、Ｐは曲線ｘ＾2＋ｙ＾2＝4（ｘ≧0、ｙ≧0）上を点（2,0）から点（0.2）間で動く点とする。ＯＰを1:2に内分する点をＨとする。ＨをとおりＯＰに垂直な直線と放物線ｙ＝ｘ＾2−13/3 との交点で、ｘ座標が正の交点をＱとする。
（1）Ｑのとりうる値の範囲を求めよ
（2）△ＯＰＱの面積が最小となるときのＱのｘ座標と、このときの△ＯＰＱの面積を求めよ

このもんだいを教えてください
よろしくおねがいします
No.7897 - 2009/09/10(Thu) 19:17:13
☆ この問題が確率の問題である確率はゼロです。 / ヨッシー
(1)
Ｈを通りＯＰに垂直な直線は、
原点中心、半径2/3 の円のｘ≧０、ｙ≧０ 部分から引いた
接線となります。
図より、Ｑのｘ座標が最小となるのは、Ｈが(2/3, 0) のときで、
そのときのＱの座標は(2/3, -35/9)
Ｑのｘ座標が最大となるのは、Ｈが(0, 2/3) のときで、
そのときのＱの座標は(√5, 2/3)
Ｑは、この範囲を動きます。

(2)
ＯＰを底辺とすると、高さはＨＱに当たります。
ＯＰは一定なので、ＨＱが最小のとき△ＯＰＱの面積は最小になります。
さらに、△ＯＨＱ は直角三角形であり、
　ＯＱ^2＝ＯＨ^2＋ＨＱ^2＝(2/3)^2＋ＨＱ^2
であるので、ＯＱが最小のとき、ＨＱも最小になります。

Ｑ（ｘ，ｘ^2−13/3) とすると、
　ＯＱ^2＝ｘ^2＋(ｘ^2−13/3)^2
　　　＝ｘ^4−(23/3)ｘ^2＋169/9
　　　＝(ｘ^2−23/6)^2＋49/12
よって、ｘ＝√(23/6) のとき、ＯＱの最小は 7/2√3
Ｑの座標は、(√(23/6), -1/2)

これは、(1) で求めたＱの範囲に入っているので、これが最小。
このとき、
　ＨＱ^2＝ＯＱ^2−ＯＨ^2
　　＝49/12−4/9＝131/36
よって、ＨＱ＝(√131)/6
△ＯＰＱ＝(1/2)×ＯＰ×ＨＱ＝(√131)/6
No.7901 - 2009/09/11(Fri) 09:40:19
☆ Re: 確率 / たかし
ありがとうございがした
動く図までのせていただいて、その親切心には心からの敬意を表します
No.7916 - 2009/09/11(Fri) 21:34:07