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記事No.79111に関するスレッドです
★ 図形と計量 / る
高1の定期テストの最後の問題だったのですが、考えてもわからないので解法を教えていただきたいです。sinθを文字でおいて進めていきましたが、行き詰まってしまいました。この問題の答えは「-2<k<-1またはk＝0」です。
No.79111 - 2021/10/27(Wed) 23:23:56
☆ Re: 図形と計量 / X
sinθ=xと置くと、
0°≦θ≦180° (A)
より
0≦x≦1 (B)
で問題の方程式は
|-3x^2+4x-1|=k(x-1)
これより
|3x^2-4x+1|=k(x-1)
|(3x-1)(x-1)|=k(x-1)
-|3x-1|(x-1)=k(x-1)
{|3x-1|+k}(x-1)=0
∴|3x-1|=-k,x=1
なので
|3x-1|=-k又はθ=90°
ここで(A)(B)より
0≦x＜1 (B)'
なるxの値1個に対し、θの値が2個対応
していることに注意すると、題意を満たすためには
xの方程式
|3x-1|=-k (C)
が(B)'において1つのみ解を持てばよい
ことになります。
そこで
y=|3x-1| (D)
のグラフと、直線
y=-k (E)
が(B)'の範囲で交点を1個のみ持つ条件を
考えると…
No.79113 - 2021/10/28(Thu) 06:01:15
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
一応別解かな？
ｔ＝sinθ と置いて、
ｙ＝|−3t^2＋4t−1| のグラフと　ｙ＝k(t-1) の
交点を調べます。

点(1,0) を通る直線 ｙ＝k(t-1) と、
　ｙ＝|(3t-1)(t-1)|
のグラフが、ｔ＝１ 以外に 0≦ｔ＜１ に交点を１つ持つことが、
求められる条件です。
ｋ＞０ は論外として、
ｋ＝０ の場合は　t=1/3 のみ解となるのでＯＫ。
０＞ｋ≧−１ （青の線）だと、２つ持つのでダメ。
−１＞ｋ＞−２　（赤の線）はＯＫ。
ｋが−２以下になると、放物線と交わらなくなるのでダメ。

ザッとこんな感じです。
No.79114 - 2021/10/28(Thu) 07:02:01
☆ Re: 図形と計量 / る
|(3x-1)(x-1)|=k(x-1)
-|3x-1|(x-1)=k(x-1)

このような変形を初めて見たのですが、どうやって変形したのか説明していただいてもいいですか？
No.79115 - 2021/10/28(Thu) 07:20:02
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
無条件にそう変形できるわけではありません。

|(3x-1)(x-1)|＝|3x-1|・|x-1|
までは良いと思います。
この問題では、0≦x≦1 の範囲で解こうとしているので、
それを前提に、
　x-1≦0　よって、x-1≦0　→　|x-1|＝−(x-1)
としています。
もしその結果、ｘ＞１ の解が出てきたら、それは排除されます。
No.79117 - 2021/10/28(Thu) 09:00:09
☆ Re: 図形と計量 / る
もう一つお聞きしたいのですが、
ｙ＝k(t-1) と、
　ｙ＝|(3t-1)(t-1)|
のグラフが、ｔ＝１ 以外に 0≦ｔ＜１ に交点を１つ持つことが、
求められる条件です。
とありますが、解が3つあるということでt＝1以外に交点が2つなのかと思ったのですが、なぜ1つなのか教えてください。
No.79118 - 2021/10/28(Thu) 11:50:13
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
X さんの回答の
>xの値1個に対し、θの値が2個対応
ここです。
No.79119 - 2021/10/28(Thu) 12:17:25