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記事No.79135に関するスレッドです
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(No Subject)
/ tan治郎
引用
こちら添付の問題の(2)において、P1の座標を(r1cosθ,r1sinθ)とおき、楕円の式に代入する方針では解けますが、P1の座標を(acosθ,bsinθ)とおいて解答することは可能でしょうか？
可能であれば式変形のやり方もお聞きしたいです。
No.79135 - 2021/10/30(Sat) 21:54:18
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
(acosθ, bsinθ) は、楕円上の点を表すものではありますが、
角度については、下図のとおりですので、難しいのではないでしょうか？
No.79138 - 2021/10/30(Sat) 22:37:19
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
あ、でも意外と出来そうかも。
No.79139 - 2021/10/30(Sat) 22:56:58
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
Ｐ1 を(acosθ, bsinθ) と置き、ＯＰ2 の式を
ｙ＝−(acosθ/bsinθ)ｘ
とし、楕円に代入します。
x^2/a^2＋(acosθ/bsinθ)^2ｘ^2/b^2＝1
x^2/a^2＋(acosθ)^2ｘ^2/b^4sin^2θ＝1
x^2(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)/a^2b^4sin^2θ＝１
x^2＝a^2b^4sin^2θ/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
よって、
y^2＝(a^2cos^2θ/b^2sin^2θ)x^2
＝a^4b^2cos^2θ/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
ここで
r1^2＝a^2cos^2θ＋b^2sin^2θ
r2^2＝(a^2b^4sin^2θ＋a^4b^2cos^2θ)/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
＝a^2b^2(b^2sin^2θ＋a^2cos^2θ)/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
逆数の和は
1/(a^2cos^2θ＋b^2sin^2θ)＋(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)/a^2b^2(b^2sin^2θ＋a^2cos^2θ)
＝(a^2b^2＋a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)/a^2b^2(b^2sin^2θ＋a^2cos^2θ)
(分子)＝a^2b^2(cos^2θ＋sin^2θ)＋a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ
＝(a^2＋b^2)a^2cos^2θ＋(a^2＋b^2)b^2sin^2θ
＝(a^2＋b^2)(a^2cos^2θ＋b^2sin^2θ)
よって、
1/r1^2＋1/r2^2＝(a^2＋b^2)/a^2b^2 ・・・(一定)
これは、ＯＰ1 がｘ軸方向、ｙ軸方向の場合も成り立ちます。
No.79140 - 2021/10/30(Sat) 23:36:04
