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記事No.79347に関するスレッドです

曲率を求める式 / サナダ
こちらのサイトにおいて質問があります。
https://manabitimes.jp/math/952


サイトの画像について、どうやって3つの赤い下線部の式を導いたのでしょうか。
また、青い下線部の式が導かれるまでの過程の計算を詳しく教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

No.79347 - 2021/11/11(Thu) 17:09:11

Re: 曲率を求める式 / ast
リンク先サイトにある
> 二つの法線の交点の座標 C(x_b, y_b) を求める(詳細は省略)
の部分, つまり連立方程式
 (y−f(a))f′(a)=a−x
 (y−f(b))f′(b)=b−x
を真面目に計算して x,y について解けば, x,y が以下のような4式 (x,y それぞれ2つずつ) を項として含むことが確かめられます.

ということで, ロピタルの定理を用いてよいので

 [x-i] (f(b)-f(a))/(f'(a)-f'(b)),
 [x-ii] (f'(a)b-f'(b)a)/(f'(a)-f'(b)),
 [y-i] (f'(a)-f'(b))/(a-b),
 [y-ii] (f'(a)f(a) -f'(b)f(b))/(f'(a)-f'(b))

の4つの式の b→a とした極限を真面目に計算してください

No.79349 - 2021/11/11(Thu) 19:21:10

Re: 曲率を求める式 / GandB
 曲率と曲率半径については何年か前に話題になったとき紹介されていた
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html
が直感的にはわかりやすいだろう。そのときの質問がおもしろい内容だったのでよく覚えているのだ(笑)。
 ただ、Δθとdθをやや混同してるような気がするので、蛇足を追加しておく。

No.79355 - 2021/11/12(Fri) 07:08:19

Re: 曲率を求める式 / サナダ
astさん、GandBさん解説ありがとうございます。
補足で曲率に関して質問したいのですが、
画像の式の?@をdθ=と変形して、?Aの式になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

No.79945 - 2021/12/13(Mon) 00:07:27

Re: 曲率を求める式 / サナダ
?@の式は
tan(θ+dθ)=tan(θ)+d tan(θ)=(tanθ+dθ)/(1-tanθ*dθ)から作りました。

No.79946 - 2021/12/13(Mon) 00:13:43