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記事No.79484に関するスレッドです
★ 加速度でt=0のときも積分してもいいのか？ / チーズケーキ
速度(v)が時間(t)に比例して2ずつ増える(v=2t、0<=t)とすると、
加速度(a)は速度の微分なのでa=2になりますよね？
?@この時、加速度のtの範囲は0<tですよね？
(なぜなら極限で-0から近づけることはできないため)

ただ、例えば時間t=１とするとき、速度は2になり、
これは加速度を0から1まで積分した値とおなじになりますよね？

?Aこの時加速度においてt=0も含めて積分してもよいのでしょうか？
なぜなら?@のとき加速度のtの範囲を0<tと考えているので矛盾していると思います。
しかし一方でt=0を含めて積分しないとt=1の時の速度が出ないように思えます。
なぜなら0からΔtまでの計算ができないからです

加速度においてt=0を含めて積分してもよいのでしょうか？理由を含めてだれか教えてください
No.79469 - 2021/11/18(Thu) 23:21:18
☆ Re: 加速度でt=0のときも積分してもいいのか？ / ast
(何らかの正当化を用いて) t=0 を含めるべきかどうかはさておき, 除いたとしても単に広義積分になるだけで何も結果は変わらないと思いますが.
No.79478 - 2021/11/19(Fri) 10:32:07
☆ Re: 加速度でt=0のときも積分してもいいのか？ / チーズケーキ
広義積分……聞いたこともなかったけどこの理屈は本当にすごい！
無理やり定積分の形にして考える発想はありませんでした

f(t) = 2,(0<t<=1)までの広義積分は
lim(a=>+0)∫[0+a〜1](f(t))dx
= lim(a=>+0){(2*1)-(2(0+a))}
= lim(a=>+0)(2-2a)
= 2
つまり、aが限りなく0に近づくなら2に収束する
=>aが0なら積分の値は2になる！

ヒントを下さりありがとうございます、友達に自慢しようと思います
No.79479 - 2021/11/19(Fri) 12:55:05
☆ Re: 加速度でt=0のときも積分してもいいのか？ / 関数電卓
２年の高校物理で最初に出て来る下図のような速度･加速度の問題で，
v−t 図は t＝2, 4 で 角 なので，ここでは微分不可。
よって a−t 図は，図のように不連続
なのですが，現実には，図の細線のように連続的に変化して行きます。
このような場合，
　不連続に見える部分を（極限で）連続関数で近似する数学表現
はいくらでもあるのです。ですから，
> なぜなら?@のとき加速度のtの範囲を 0＜t と考えているので矛盾していると思います。
と忌避してしまわずに，連続関数で近似する 様々な方法を学ばれる方が，積極的であり建設的であり意義が大きい，と私は思います。
No.79484 - 2021/11/19(Fri) 18:55:33
☆ Re: 加速度でt=0のときも積分してもいいのか？ / 関数電卓
もう１つの例はドップラー効果です。
目の前を通過した救急車のサイレン音は，
　通過の直前は高音，直後は低音
と瞬間的に変化するように感じますが，これも，極めて短い時間の流れを考えれば，連続的に 変化しているのです。
No.79485 - 2021/11/19(Fri) 19:09:54
☆ Re: 加速度でt=0のときも積分してもいいのか？ / チーズケーキ
完璧や……完璧……
関数電卓さん、図を交えた分かりやすい解説ありがとうございます！
ただこうしてみるとt＝2, 4、7に対する微分はダメなのに積分は含めてokなのは不思議な感じがしますね

ドップラー効果についても友達に自慢してきます！
No.79495 - 2021/11/20(Sat) 17:14:08