下記画像の40番の問題について質問です。
解答例では、それぞれの二次方程式を因数分解した後、
「P∩Q∩Rがただ一つの負の数からなることと、Q={1,b}から
P∩Q∩R={b}」
とあるのですが、なぜこの結論が導けるのでしょうか？
![]() |
No.79492 - 2021/11/20(Sat) 13:10:09
| ☆ Re: 集合の問題 / ast | | | 蛇足だとは思いますが, 一応. 明らかに冗長ですが, Q ではなく P に注目して情報を整理するなら以下のようにできます.
(P={-3,a}, Q={1,b}, R={2a,5b} は既知として) P∩Q∩R がただ一つの負の数からなることと P={-3,a} から P∩Q∩R={-3}または[a<0 かつ P∩Q∩R={a}]でなければならない.
[i] P∩Q∩R={-3} のとき:
P∩Q∩R⊂Q から b=-3 が必要, かつ
P∩Q∩R⊂R から [-3=2a または -3=5b] が必要.
[i-1] -3=2a のとき P={-3,-3/2}, Q={1,-3}, R={-3,-15} となり確かに P∩Q∩R={-3} が成り立つ.
[i-2] -3=5b のとき b=-3 に矛盾 (あるいは P={-3,a}, Q={1,-3/5}, R={2a,-3} となり P∩Q∩R=∅ (矛盾)).
[ii] a<0 かつ P∩Q∩R={a} のとき:
P∩Q∩R⊂Q から b=a が必要 (1 は負でないから 1=a はない), かつ
P∩Q∩R⊂R から [a=2a または a=5b] が必要.
[ii-1] a=2a のとき, a=0 となり a<0 という仮定に矛盾 (あるいは, したがって b=a=0 だから P={-3,0}, Q={1,0}, R={0,0} となり P∩Q∩R={0} (矛盾)).
[ii-2] a=5b のとき, a=5b=5a から a=0. 上と同様に矛盾.
以上をまとめると, P∩Q∩R={-3} のとき b=-3 かつ a=-3/2 である場合のみ所期の条件を満たすに (必要かつ)十分である.[終]
## 明らかにほとんどの場面で P∩Q∩R⊂Q から得られる情報である P∩Q∩R={b} が決め手になっていますので,
## たぶん最初にこの解答を考えたとしても模範解答のように内容を組み直す人がほとんどじゃないかなあ.
|
No.79513 - 2021/11/22(Mon) 04:23:42 |
|
