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記事No.79644に関するスレッドです
★ C^1級関数の証明 / cos(x+1)
p ∈ N = {1,2,3,・・・}とする。
f(x) = (x^p)sin(1/x)(x ≠0)
f(x) = 0(x =0)
で定義される関数f(x)に対して、
(1)f(x)が連続であるか示せ
→証明済み

(2)f(x)がR=(-∞,∞)上において微分可能となるpの範囲を求めよ。

(3)f(x)がR上 C^1-級となるpの範囲を求めよ。

(1)はできたのですが(2),(3)のpの範囲をどのように求めてけばいいのかがわかりません。もしわかる方がいたら教えてください。
No.79633 - 2021/11/27(Sat) 12:58:21
☆ Re: C^1級関数の証明 / IT
まず、定義にしたがってx=0 での微分を求めてみたらよいのでは？
No.79634 - 2021/11/27(Sat) 13:18:53
☆ Re: C^1級関数の証明 / cos(x+1)
> まず、定義にしたがってx=0 での微分を求めてみたらよいのでは？

返信ありがとうございますm(_ _)m

f'(x)={px^(p-1)sin(1/x)}-{x^(p-2)cos(1/x)}にx=0を代入したら0になってしまうのですがどうすれば良いでしょうか？
(2)の解は1≦p≦2になるのですがそれはこの式からわかるものなんでしょうか？
No.79636 - 2021/11/27(Sat) 14:29:47
☆ Re: C^1級関数の証明 / IT
> f'(x)={px^(p-1)sin(1/x)}-{x^(p-2)cos(1/x)}にx=0を代入したら0になってしまうのですがどうすれば良いでしょうか？

この式は,x≠0でのf(x) の導関数ですね。

「「定義」にしたがって」の意味を誤解しておられるようです。
f(x)の「定義」ではなくて、「微分」の「定義」です。
「微分（微分係数、導関数）の定義」は、教科書にどう書いてありますか？
No.79639 - 2021/11/27(Sat) 16:48:56
☆ Re: C^1級関数の証明 / cos(x+1)
> > f'(x)={px^(p-1)sin(1/x)}-{x^(p-2)cos(1/x)}にx=0を代入したら0になってしまうのですがどうすれば良いでしょうか？
>
> この式は,x≠0でのf(x) の導関数ですね。
>
> 「「定義」にしたがって」の意味を誤解しておられるようです。
> f(x)の「定義」ではなくて、「微分」の「定義」です。
> 「微分（微分係数、導関数）の定義」は、教科書にどう書いてありますか？

写真の上の式にa=0を代入してlim[h→0] h^(p-1)sin(1/h)が有限値となるpの範囲を求めれば良いのでしょうか？
でもどうやってpの範囲を求めれば良いのかわかんないです
No.79644 - 2021/11/27(Sat) 22:53:25
☆ Re: C^1級関数の証明 / IT
> 写真の上の式にa=0を代入してlim[h→0] h^(p-1)sin(1/h)が有限値となるpの範囲を求めれば良いのでしょうか？

そうです。

> でもどうやってpの範囲を求めれば良いのかわかんないです

ｐ＝１、２、３　のとき　lim[h→0] h^(p-1)sin(1/h)が　どうなるかそれぞれ調べてください。
No.79645 - 2021/11/27(Sat) 23:04:42
☆ Re: C^1級関数の証明 / cos(x+1)
> ｐ＝１、２、３　のとき　lim[h→0] h^(p-1)sin(1/h)が　どうなるかそれぞれ調べてください。

pに何を入れてもh→0となるので結果的にh^(p-1)が0となると思うのですが、これはh=0と考えてしまっているからダメなのでしょうか？
No.79646 - 2021/11/27(Sat) 23:26:22
☆ Re: C^1級関数の証明 / cos(x+1)
> > ｐ＝１、２、３　のとき　lim[h→0] h^(p-1)sin(1/h)が　どうなるかそれぞれ調べてください。
>
> pに何を入れてもh→0となるので結果的にh^(p-1)が0となると思うのですが、これはh=0と考えてしまっているからダメなのでしょうか？

h→0でもp=1の時はh^(p-1)は1になるのでしょうか？
No.79647 - 2021/11/27(Sat) 23:29:35
☆ Re: C^1級関数の証明 / cos(x+1)
解決しました！
わざわざ教えていただきありがとうございます。
No.79648 - 2021/11/27(Sat) 23:42:14
☆ Re: C^1級関数の証明 / IT

> h→0でもp=1の時はh^(p-1)は1になるのでしょうか？

そうですね。ｈは0ではありませんから　h/h=1 と考えると分かり易いかも知れません。

>　(2)の解は1≦p≦2になるのですが
これは、どういう意味ですか？　正解は、1≦p≦2だと示されている（与えられている）のでしょうか？、
ｐは自然数なので　p=1,2ということですか？
No.79649 - 2021/11/27(Sat) 23:42:48
☆ Re: C^1級関数の証明 / cos(x+1)
> ｐは自然数なので　p=1,2ということですか？

その解間違ってました。
(2)がp≧2
(3)がp≧3
で合ってますか？
No.79651 - 2021/11/28(Sun) 08:59:40
☆ Re: C^1級関数の証明 / IT
よいのでは。
No.79652 - 2021/11/28(Sun) 12:09:23