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記事No.79738に関するスレッドです
★ 数学的帰納法 / ぽ
貼り付けた写真の2問の解き方とその過程を教えていただきたいです。
No.79738 - 2021/12/01(Wed) 21:09:39
☆ Re: 数学的帰納法 / ast
解き方はご自身でお書きのように「数学的帰納法」を用いればよいでしょう. とくに (2) は自明だからさすがに自力でやるべきです.

(1) はまあどう帰納法の仮定に帰着するか発想が求められるとは思いますので, 帰納ステップだけスケッチを述べておきます. 基本的には d^(k+1)(x^k f(1/x))/dx^(k+1) を d(d^k(x * x^(k-1) f(1/x))/dx^k)/dx と見ることができさえすれば, あとは計算するだけです (計算自体の説明はとくにしません).

d^k(x^(k-1)f(1/x))/dx^k = (-1)^k f^(k)(1/x)/x^(k+1) を仮定するとき:

u:=x, v:=x^(k-1) f(1/x) と置くとき, uv に対するライプニッツの法則 (積の高階微分公式) から
　d^k(x * x^(k-1) f(1/x))/dx^k
　 = x*d^k(x^(k-1)f(1/x))/dx^k + k*d^(k-1)(x^(k-1)f(1/x))/dx^(k-1)
　 = (-1)^k*f^(k)(1/x)/x^k + k*d^(k-1)(x^(k-1)f(1/x))/dx^(k-1)
となることに注意すれば
　d^(k+1)(x^k f(1/x))/dx^(k+1)
　 = (-1)^k d(f^(k)(1/x)/x^k)/dx + k*d^k(x^(k-1)f(1/x))/dx^k
　 = (-1)^k (f^(k+1)(1/x)*(-1/x^2)*x^k-f^(k)(1/x)k*x^(k-1))/x^(2k) + k*(-1)^k*f^(k)(1/x)/x^(k+1)
　 = (-1)^(k+1) f^(k+1)(1/x)/x^(k+2).

# もし (高階の) ライプニッツの法則が既習でない場合には証明することになります (これも帰納法で).
## まあ一般の場合ではなくて, ここで必要になる x*F(x) の形に対する高階微分についてだけ
## 証明できれば十分ですが (無論, 一般の場合のライプニッツの法則が証明できるならしたほうがよい).
No.79742 - 2021/12/02(Thu) 07:41:37
☆ Re: 数学的帰納法 / ぽ
となることに注意すれば、の次の行のdx^(k+1)って、dx^(k+2)ではないでしょうか？
No.79757 - 2021/12/02(Thu) 22:00:09
☆ Re: 数学的帰納法 / ast
理由が書かれていないのでどうしてそう思うのかよくわかりません (所期の等式は, 「k-階微分 d^k/dx^k のときの成立を仮定したときの (k+1)-階微分 d^(k+1)/dx^(k+1) に対する成立を見る」のであって, (k+2)-階微分 d^(k+2)/dx^(k+2) ではないと私は思います) が, そう思う根拠は何かありますか?

# 当然ながら, もし根拠を以って誤りと判断したのであれば, 自分で修正してしまってよいと思います
# (そもそも, 課された問題は課された本人の手で自身の理解をもとに答案作成されるべきなので).
# 修正しきれないときは, 現状どうなっているか具体的にした質問ならば添削などで応対できるでしょう.
## なお, 私の回答は質問者による自力解答への助力が趣旨であり (答案作成代行ではない),
## 細かい正確性までは保証しない (質問者自身が検討の上で必要なだけ正確になるようすればいい)
## というスタンスです (もちろん, やり取りをする中でより正確性を求めることはありますが,
## それも自助努力があって質問者の考えや疑問点が具体化されていくことが前提ということです).
No.79763 - 2021/12/02(Thu) 23:43:18