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記事No.79870に関するスレッドです
★ (No Subject) / レントラー
2010年度東大理科第1問の解法についての質問です。(式変形についての質問のため問題は省略させていただきます)
問題としては3つの正の数a,b,cについてa+b+c=1の関係があるとき、V=b{(π/4)(a^2+c^2)+ac}の最大値を求めるという問題です。
わたしは画像のように変形し解答しましたが、最終的な解答がずれてしまいました。どこに誤りがあるのかご指摘お願いします。
No.79870 - 2021/12/08(Wed) 17:25:13
☆ Re: / IT
タイプ入力と画像でVの式がちがっていませんか？
bとc が、ごちゃごちゃになってる？

画像の方だと、２行目のV＝b{(π/4)(a+c)^2 +　...
はどういう変形ですか？　(a+c)^2は、どこから？
No.79872 - 2021/12/08(Wed) 18:49:32
☆ Re: / IT
1-(π/2) は負です。最後の不等式の不等号の向きが、まちがっているので、だめだと思います。
No.79874 - 2021/12/08(Wed) 20:07:42
☆ Re: / ast
横からですが: ググったら V=b{(π/4)(a^2+c^2)+ac} が正しい (画像の1行目だけ誤植で以降は正しい) みたいですね.
# ググったら模範解答もぞろぞろ出てきたけど, なんというか面倒なだけで面白くない内容……
# まあ a と c の対称性を保った形の解答はまだ見通しよかった気はする (※気のせい: 私は問題解くのは苦手)

まあなんにせよ, 「相加平均と相乗平均の関係式で等号が成り立つような a,c に限ってみれば (したがって, a=c という制約式を追加したうえで) 進めて行って V<(2+π)/54 だと思った, なのに模範解答の類いでは軒並み <π/27 って書かれてるナンデ」という話ってことでしょうね.

面倒臭いので WolframAlpha に訊いたところだと, (パラメータが分かるように V=V(a,b,c) と書くと) V(1/3,1/3,1/3)=(2+π)/54 に対して V(2/3,1/3,0)=π/27 で (2+π)/54 < π/27 なので, a=c を追加仮定して追跡したのでは c→0 のところの挙動は調べられない, ということなのでは.
# 条件が a と c に関して対称なので, a→0 のあたりを考えても同様.
No.79877 - 2021/12/09(Thu) 13:12:56
☆ Re: / 関数電卓
b＝1−a−c として
　f(a,c)＝(1−a−c){(π/4)(a^2+c^2)+ac}＝V
を見える化してみました。
(a,c)＝(2/3,0),(0,2/3) で最大値，(1/3,1/3) は 鞍点 のようですね。
No.79880 - 2021/12/09(Thu) 19:24:32
☆ Re: / IT
もう少し具体的に誤りを指摘します。

＃「相加・相乗平均より」というよりも＃
なんせa,cは正（の実数）なので0＜ac≦((a+c)/2)^2 . ＃これは正しい。
次に、1-(π/2)＜0なので、(1-(π/2))ac≧(1-(π/2))((a+c)/2)^2　＃ここで不等号の向きが変わります。

よって、
V=b{π((a+c)/2)^2+(1-(π/2))ac}≧b{π((a+c)/2)^2+(1-(π/2))((a+c)/2)^2}
∴V≧b{(1+(π/2))((a+c)/2)^2}＝(1/4)(1+(π/2))b(1-b)^2
＃質問者の解答とは、不等号の向きが違います。

となりますから、Vの最大値（的な値）を　この方針で求めることは出来ません。
No.79881 - 2021/12/09(Thu) 19:54:24