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記事No.80073に関するスレッドです
★ (No Subject) / たぬき
三角形の各辺の中点を結んだ線で折り曲げてできる四面体では、垂線の足が元の三角形の垂心になることの証明の仕方を教えてください。

よろしくお願いいたします
No.80066 - 2021/12/26(Sun) 16:44:02
☆ Re: / 関数電卓
「元の三角形」とは,「展開図に開いたときの大きな三角形」という意味ですね？
「折り曲げる」とき「各頂点がどの様に動くか」を考えれば，ほとんど明らかです。
No.80067 - 2021/12/26(Sun) 19:08:13
☆ Re: / たぬき
もちろんほとんど明らかなのはわかるのですが、だからこそどう証明するのか気になりまして…
No.80068 - 2021/12/26(Sun) 21:38:28
☆ Re: / IT
「ほとんど明らかな」事項をきちんと証明（説明）するのは、けっこう面倒ですね。（特に空間図形だと）

（図でなく言葉で説明してますが図を描いてください）

四面体の状態で考えて、元の三角形の３頂点が一つになる点を
A、元の３つの中点からなる頂点をB、C、Dとします。

Aから平面BCDに下した垂線の足をOとします。
AからBCに垂線AHを下ろします。

３垂線の定理からOHがBCに垂直が言えます。

したがって、元の展開図に戻すと
　AOはBCに垂直です。
　BCは元の大きな三角形の辺と平行です。
　AOは、元の大きな三角形の辺と垂直です。

他の２本も同様です。
No.80071 - 2021/12/26(Sun) 22:26:02
☆ Re: / 関数電卓
IT さんの回答とは点に与えた記号が異なり混乱しそうですが，悪しからず。
(証明)
△ABC の 辺 AB, AC の中点を F, E とし，A から辺BC に下ろした垂線の足を H とする。
明らかに AH⊥EF。
点 A を EF を折り目として回転させると，点 A は図の円弧 P を描くが，円弧 P は 明らかに AH を含み △ABC に垂直な平面内にある。
同様に，点 B を回転させた円弧も B 通り辺 CA に垂直な線分を含み△ABC に垂直な平面内にある。C についても同様。
よって，A, B, C を３辺の中点を結ぶ線分を折り目として回転させ出会った点から△ABC に下ろした垂線の足は，△ABC の垂心である。（証明了）
No.80073 - 2021/12/26(Sun) 23:39:17
☆ Re: / たぬき
IT様、関数電卓様

大変よくわかりました。ありがとうございました。
No.80074 - 2021/12/27(Mon) 00:02:25