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記事No.80094に関するスレッドです
★ 指数関数 / あかりん
指数関数が苦手この問題全てわかりません😭
あと、文字の置き換えのコツなどがあれば教えていただきたいです
No.80094 - 2021/12/28(Tue) 11:44:19
☆ Re: 指数関数 / X
(1)
条件から
y=(3^x)^2+{3^(-x)}^2
={3^x+3^(-x)}^2-2(3^x)・3^(-x)
=t^2-2 (A)
又、相加平均と相乗平均の関係から
t≧2√{(3^x)・3^(-x)}=2 (B)
(不等号の下の等号は3^x=3^(-x)、つまりx=0のとき成立)
(A)(B)より
y≧2^2-2=2
(不等号の下の等号はx=0のとき成立)
∴yはx=0のとき、最小値2を取ります。

(2)
条件から
z^2={3^x-3^(-x)}^2={3^x+3^(-x)}^2-4
=t^2-4
ここでx＞0より
z={1-1/(3^x)^2}・3^x＞0
∴z=√(t^2-4)

(3)
条件から
t=w+1/w (C)
これをtの方程式として解くことを考えます。
(C)より
w^2-tw+1=0 (C)'
(C)'をtの二次方程式として解の公式を使って解くと
w={t±√(t^2-4)}/2
ここでx＞0より
1＜w (D)
2＜t (E)
(tの値の範囲は(B)を参考にしましょう。)
∴
(i)w={t+√(t^2-4)}/2のとき
(E)より
w＞1となり、(D)を満たします。
(ii)w={t-√(t^2-4)}/2のとき
w={t^2-(t^2-4)}/{2{t+√(t^2-4)}}
=4/{2{t+√(t^2-4)}}
＜4/(2・2)=1
となり、(D)を満たしませんので不適。
(i)(ii)より
w={t+√(t^2-4)}/2
となります。
No.80101 - 2021/12/28(Tue) 13:19:20
☆ Re: 指数関数 / X
＞＞文字の置き換えのコツなどがあれば教えていただきたいです
何も特殊なことはしていません。

(3)の置き換えである
w=3^x (P)
が全てです。

ここから
3^(-x)=1/(3^x)=1/w (Q)
後は、展開により
(t+1/t)^2=t^2+1/t^2-2 (R)
となることを使っています。

(1)(2)は
いきなり
t=3^x+3^(-x)
z=3^x-3^(-x)
などとして、まとめて置き換えているように見えますが
(P)(Q)の置き換えにより(R)が使えることが隠れています。
つまり、(敢えて言えば)置き換えを２段階行っている
ということです。
No.80103 - 2021/12/28(Tue) 13:36:22