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記事No.80370に関するスレッドです
★ (No Subject) / 初等幾何
鋭角三角形OABにおいて、A,Bをそれぞれ対辺に関して対称に移動した点をD,Cとする。ABとCDが平行ならば、OA=OBを示せ。
という問題で、元の問題はOCベクトル、ODベクトルをそれぞれOAベクトルとOBベクトルで表して示すような誘導がついていました。
これを初等幾何で示すことはできるでしょうか？
点の名前は図の通りでお願いします。
No.80370 - 2022/01/18(Tue) 01:16:19
☆ Re: / らすかる
A,BからCDに垂線AP,BQを下すとAP=BQ(∵AB//CD)
条件からCA=AB=BDなので直角三角形APCと直角三角形BQDは
斜辺と他の一辺が等しく、合同。
よって∠CAB=∠CAP+90°=∠DBQ+90°=∠ABD
条件から∠OAC=∠OAB、∠OBD=∠OBAなので
∠OAB=(1/2)∠CAB=(1/2)∠ABD=∠OBA
よって△OABはOA=OBの二等辺三角形なので、OA=OB。

# 「CA=AB=BDとAB//CDから四角形ABDCは等脚台形」として
# 等脚台形の性質を使ってよければもっと簡単になります。
No.80371 - 2022/01/18(Tue) 05:07:32
☆ Re: / 初等幾何
垂線を下ろす発想ができませんでした...
鮮やかな証明ありがとうございます！
No.80377 - 2022/01/18(Tue) 12:29:48