[
掲示板に戻る
]
記事No.80492に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ NFT
引用
∫{1/√x(2-x)}dxのやり方がわかりません！
置換積分を試してみたのですができませんでした...
No.80480 - 2022/01/24(Mon) 13:33:11
☆
Re:
/ らすかる
引用
積分対象が√(二次の係数が負の二次式)で表される式のときは
(二次式)=0の解をα,βとして
t=√{(x-α)/(β-x)}とおくという定石があります。
よってこの問題では
t=√{x/(2-x)}またはt=√{(2-x)/x}
のようにおくとうまくいきます。
t=√{x/(2-x)}とおくとx=2t^2/(t^2+1)なので
1/√{x(2-x)}=(t^2+1)/(2t)
dx=4t/(t^2+1)^2 dt
∫1/√{x(2-x)} dx
=∫(t^2+1)/(2t)・4t/(t^2+1)^2 dt
=2∫1/(t^2+1) dt
=2arctant+C
=2arctan√{x/(2-x)}+C
t=√{(2-x)/x}とおくとx=2/(t^2+1)なので
1/√{x(2-x)}=(t^2+1)/(2t)
dx=-4t/(t^2+1)^2 dt
∫1/√{x(2-x)} dx
=∫(t^2+1)/(2t)・-4t/(t^2+1)^2 dt
=-2∫1/(t^2+1) dt
=-2arctant+C
=-2arctan√{(2-x)/x}+C
# 2arctan√{x/(2-x)} と -2arctan√{(2-x)/x} は
# 異なる関数ですが、差は定数です。
No.80482 - 2022/01/24(Mon) 14:31:27
☆
Re:
/ もる
引用
ご親切にありがとうございます。
頑張ります
No.80483 - 2022/01/24(Mon) 15:34:34
☆
Re:
/ 関数電卓
引用
私は
x(2−x)＝1−(x−1)^2
より
x−1＝sinθ
と置くと
√(x(2−x))＝cosθ，dx＝cosθdθ
∫{1/√(x(2−x))}dx＝∫dθ＝θ＋C＝
arcsin(x−1)＋C
とするのが簡便と思いました。
らすかる さんの２解とともに，すべて定数差です。
No.80492 - 2022/01/24(Mon) 21:00:09
