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記事No.80636に関するスレッドです
★ 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

以下問題の(3)です
No.80621 - 2022/01/31(Mon) 16:22:23
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。
No.80624 - 2022/01/31(Mon) 17:10:42
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

一つ質問があります
＞まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。

既に計算していますが、それをどう使うのでしょうか。
No.80627 - 2022/01/31(Mon) 17:46:29
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
この問題の考え方の指針を教えてください。

何卒宜しくお願い致します。
No.80628 - 2022/01/31(Mon) 17:48:16
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
> 一つ質問があります
> ＞まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。
>
> 既に計算していますが、それをどう使うのでしょうか。

どうなりましたか？

分子、分母の　各素因数の指数や、全体のサイズに注目すると絞れるかも知れません。
No.80629 - 2022/01/31(Mon) 18:45:12
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
早速のご返答ありがとうござい

質問があります

私もnに制限を設ける策で試行錯誤していますが、nは最大いくつまで制限を設けるべきでしょうか

何卒宜しくお願い致します。
No.80631 - 2022/01/31(Mon) 18:50:11
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私は次のように考えました
No.80636 - 2022/01/31(Mon) 19:41:40
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
私もこれからやってみるところですが、
分子が(n+2)(n+3)(n+4) なので､素因数３の方が数えやすいかも知れませんね。

ある素因数p（２とか３）について
ある自然数nで
　a(1)a(2)a(3)...a(n)の分子のpの指数＜分母のpの指数となり、かつ
　任意のm＞n について　
　　a(m)の分子のpの指数≦a(m)の分母のpの指数
となることを示せれば

n 未満について　個別に調べればいいですね。
a(k)が整数でないkについて　
　a(1)a(2)a(3)...a(k) が整数になるかどうかを調べる。
（p以外の素因数の指数について確認すれば良いです。）


本質的なことではないですが、
2^2,2^2,2^3,も、2,2,3 と指数だけ記述した方が早いですよ。
No.80637 - 2022/01/31(Mon) 20:03:56
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

今日は疲れてしまい
明日またご質問致します。

ありがとうございました
No.80643 - 2022/01/31(Mon) 22:09:57
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
後は自分で処理出来そうです

ありがとうございました
No.80647 - 2022/02/01(Tue) 17:23:46
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
任意のm＞n について　
　　a(m)の分子(m+2)(m+3)(m+4)のpの指数≦a(m)の分母m!のpの指数
となることを簡明に示すことがポイントだと思います。

なお、m！の素因数p の指数計算は、整数の典型問題の一つです。
（そんなに厳密に計算しなくても良いかも知れませんが）
No.80649 - 2022/02/01(Tue) 18:31:31
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 黄桃
終わったようなので、簡単にコメントします。
おそらく、(1),(2),(3)と順にヒントになっているのでしょう。
(1)で「a(n)はnが2以上で狭義単調減少で急速に0に収束する」(a(n+1)=(n+5)/((n+2)(n+1)) * a(n))ことがわかるので、これを使って
(2)ではa(n)が1より小さくなるところ(実際a(6)=1)までを調べればよい、とわかる。
すると、これより先はa(n)<1で、a(n)は急激に小さくなるので、
(3)でも、意外と早くa(1)a(2)...a(n)<1 となるnが見つかるのではないか、
と考えて試しにa(1)...a(7),a(1)...a(8),a(1)...a(9)を計算してみれば、予想が正しそう、とわかり、
a(1)...a(10)まで計算すれば答がわかるようになっているようです。
No.80657 - 2022/02/02(Wed) 00:13:29
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
IT先生、黄桃先生

本当に有難うございました
No.80660 - 2022/02/02(Wed) 03:38:37