何分数学?Vを勉強し始めて３日ですから
基礎から教えて下さい
以下問題と質問です
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No.80667 - 2022/02/02(Wed) 10:57:42
| ☆ Re: 数学?V 極限 / 編入受験生 | | | > また
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> ＞収束する数列の極限値はただひとつしかないことを証明
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> は高校数学では暗黙の了解としてよいですか
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> 実際に、このa(n)の極限値を求めると2/5と求まりますので、仮定を正論できますから
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> 何卒宜しくお願い致します。
収束する数列の極限値はひとつしかないというのは、
暗黙の了解ではなく収束の定義です。
ある有限なただ１つの値に定まるとき、収束すると言います。例えば、lim_{n→∞}cos(nπ)は-1と1を交互に取るので、有限の値だとしてもひとつに定まらないので収束するとは言いません(振動する).
この問題は、a_nが収束するという条件が与えられてないです。たしかに、この手の問題の答えはほぼ１００％有限の値に収束するでしょう。しかし、それは導出の手がかりとなるだけであって、実際の論証でいきなり収束を仮定すると減点されます。
この問題では収束は仮定しなくても、収束することを示せます。以下、解答例（収束することの証明部分だけ）。
(a_n + 5)/(2a_n+1)を部分数分解すると,
(a_n + 5)/(2a_n+1) = {(a_n+1/2)+9/2}/2(a_n+1/2) = 1/2 + 9/2(a_n+1)
ここで、n→∞のとき,1/2 + 9/2(a_n+1)は3に収束するのだから,2(a_n+1)は有限な値に収束するしかありえない.
なぜなら,nが無限に近づくにつれて2(a_n+1)が+-∞に近づくなら,9/2(a_n+1)は0に近づいて行くので,lim_{n→∞}{1/2 + 9/2(a_n+1)}は1/2となるので,矛盾.
また,nが無限に近づくにつれて,2(a_n+1)がある有限な複数の値を取る(振動)としたら,lim_{n→∞}{1/2 + 9/2(a_n+1)}は複数の有限な値を取るから,矛盾.
∴n→∞のとき,2(a_n+1)は収束する.
同様な議論で,2(a_n+1)は収束する⇔a_nは収束することがいえる.
高校数学の範囲ではこのレベルの論証で十分です。
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No.80685 - 2022/02/02(Wed) 14:53:48 |
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