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記事No.80739に関するスレッドです
★ (No Subject) / Hayay
1辺の長さが４cmの正四面体ABCDにおいて辺AB,AC,AD,BC,BD,CDの中点をそれぞれE、F、G、H、I、Jとする。この時、次の問に答えなさい。

（１）E、F、G、H、Iを頂点とする正八面体を、三点AHJを通る平面で切る時、頂点Fを含む方の体積を求めなさい。（因みに切り口の面積は3√11/4cm^2で、この問題自体の答えは√２/2cm^3です。）

どなたか分かる方、解説お願い致します。
No.80739 - 2022/02/03(Thu) 23:45:36
☆ Re: / らすかる
EFの中点をK、FGの中点をLとすれば、
体積を求める立体は四角錐F-HJLKです。
△FKLは正三角形なのでFK=KL=LF=1
△CHJも正三角形なのでCH=HJ=JC=2
またKH=LJ=(1/2)AH=√3
よって底面は上底1、下底2、残りの2辺√3の等脚台形となり、
高さは√{(√3)^2-(1/2)^2}=√(3-1/4)=√11/2と求まりますので
面積は(1+2)×(√11/2)÷2=3√11/4です。
Fから底面までの距離を考えるには、HJの中点をMとして△ACMを考えます。
CM=(√3/2)CH=√3で正四面体ABCDの高さは4√6/3なので
△ACMの面積は√3×4√6/3÷2=2√2です。
CM=√11なのでCから直線AMに下した垂線の長さは2√2×2÷√11=4√22/11です。
FはACの中点なので、Fから直線AMに下した垂線の長さは2√22/11となります。
従って求める立体の体積は
(3√11/4)×(2√22/11)×(1/3)=√2/2
となります。
# 単位は省略しました。
No.80741 - 2022/02/04(Fri) 00:41:20