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記事No.80845に関するスレッドです
★ 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

以前にも質問したのですが、改めてご質問致します。


問題以下
No.80845 - 2022/02/10(Thu) 10:08:25
☆ Re: 再掲　数列の極限 / けんけんぱ
記事No.80667で質問されてますよね。改めて質問されるなら、今回は何を聞きたいかを書かれたほうがよいかと思います。
No.80849 - 2022/02/10(Thu) 13:58:45
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
申し訳ございません

まだ質問していない(1)をお願い致します。

上の一題目です
No.80851 - 2022/02/10(Thu) 14:27:59
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
このような問題は a[n] をすでに極限が分かっている 1 + (-1)^n a[n] を用いて表すのが第一感です．（(2)の問題もそういう方針だったはず）つまり
a[n] = (-1)^n (1 + (-1)^n a[n] - 1)
しかし (-1)^n が処理できない（収束しない）ので代わりに |a[n]| を考えてみます．

[解答]
|a[n]| = |1 + (-1)^n a[n] - 1|
であり，仮定より
lim[n→∞] {1 + (-1)^n a[n] - 1} = 0
だから
lim[n→∞] |a[n]| = 0
よって
lim[n→∞] a[n] = 0.


[蛇足]次の極限の性質を使っています．

(i) lim[n→∞] b[n] = β ならば lim[n→∞] |b[n]| = |β|

(ii) lim[n→∞] |c[n]| = 0 ならば lim[n→∞] c[n] = 0
No.80860 - 2022/02/10(Thu) 19:20:16
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

私は定義に基づき以下のように考えました

何卒宜しくお願い致します。
No.80873 - 2022/02/12(Sat) 06:30:30
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
下のような問題はどうお考えになりますか

ご教授よろしくお願いいたします
No.80874 - 2022/02/12(Sat) 07:12:22
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
>No.80873

論理的な問題はないです．

画像の「」の部分を定義と呼ぶのはよくないです．
よく知られている極限の定義と異なるから．
// ふつう定義ではなく性質とか命題とか呼ぶ．

そしてこの性質は ε[n] を使わずとも
lim[n→∞] a[n] = α ⇔ lim[n→∞] (a[n] - α) = 0
と書き表すことができ，これは自明（特に明記することなく使える）です．

// 個人的に(1)の回答では ε[n] を使わなくてもいいのではとおもう．
// ε[n] を (1 + (-1)^n a[n]) - 1 で置き換えれば証明が短くなる．
// (2) は ε[n] を使うことで式が見やすくなっているのでいいとおもう．
// 前に挙げられていたテキストの解答は ε[n] を b[n]-3 で置き換えたもの．
No.80875 - 2022/02/12(Sat) 15:43:41
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
>No.80874
(1)
例: a[n] = 2n, b[n] = n

y = 2x と y = x のグラフをイメージしてください．
それぞれ数列 a[n], b[n] に対応しています．
数列 a[n]-b[n] は二つのグラフの差に対応しています．
さて，他の例はつくれますか．

(2)
これもやはり極限が既知の a[n]-b[n] を使えるように変形したい．

b[n]/a[n] = 1 - (a[n]-b[n])/a[n]
と変形して極限は
1 - α/∞ = 1

a[n]^2/b[n] - b[n]^2/a[n] = (a[n]^3-b[n]^3)/(a[n]b[n])
さらに
a[n]^3-b[n]^3
= (a[n] - b[n]) (a[n]^2 + b[n]^2 + a[n]b[n])
= (a[n] - b[n]) ((a[n]-b[n])^2 + 3a[n]b[n])
と（後で a[n]b[n] が約分されることを見越して）変形すれば
a[n]^2/b[n] - b[n]^2/a[n] = ((a[n]-b[n])^3 / (a[n]b[n])) + 3 (a[n]-b[n])
よって極限は
α^3/∞ + 3α = 3α
No.80876 - 2022/02/12(Sat) 15:44:55
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

考えてみました

返信が遅れてしまい申し訳ありませんでした。

何卒宜しくお願い致します。
No.80878 - 2022/02/12(Sat) 17:11:11
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
(2)について
合ってます．
K.A. さんの変形の方がスマートでいいですね．


(1)について
"均衡値" はあまり関係ないような...
// それを使うのはたぶん漸化式．
グラフと数列が対応しているというのは
グラフy = 2x の x=n における yの値 2n と数列 a[n] = 2n を対応させるという意味です．

// どうでもいいけど，n^2, log n, e^n を使えばさらにたくさん作れる．
No.80879 - 2022/02/12(Sat) 22:43:07
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
色々とありがとうございました
No.80883 - 2022/02/13(Sun) 08:14:25
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
一つ質問が出来ました

＞// どうでもいいけど，n^2, log n, e^n を使えばさらにたくさん作れる

それは、かいつまんで言うと、原点を通る関数ということでしょうか？

何卒宜しくお願い致します。
No.80886 - 2022/02/13(Sun) 09:56:45
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
見識が間違っていました

申し訳ございません。

以下
No.80887 - 2022/02/13(Sun) 10:09:25