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記事No.80890に関するスレッドです
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漸化式と極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
おはようございます
お願い致します。
質問は(３)のみです
また、この数列は一般項は求まりますか
何卒宜しくお願い致します。
No.80881 - 2022/02/13(Sun) 07:44:39
☆
Re: 漸化式と極限
/ らすかる
引用
(3)
条件から
a[1]=1
a[2]=a[1]+(1/3)=1+1/3
a[3]=a[2]+(1/3)^2=1+1/3+(1/3)^2
a[4]=a[3]+(1/3)^3=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3
・・・
よって等比数列の公式により
a[n]=(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=(3/2){1-(1/3)^n}
となり、極限は3/2。
一般の数列と同じ解き方をするなら
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(1/3)^n
a[n+1]+k(1/3)^(n+1)=a[n]+k(1/3)^n
とおくと
a[n+1]=a[n]+k(1/3)^n-k(1/3)^(n+1)
a[n+1]=a[n]+(1-1/3)k(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(2/3)k(1/3)^n
よって(2/3)k=1すなわちk=3/2となるので
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n は
a[n+1]+(3/2)(1/3)^(n+1)=a[n]+(3/2)(1/3)^n
と変形できることがわかる。
b[n]=a[n]+(3/2)(1/3)^n とおくと
b[n+1]=b[n], b[1]=a[1]+(3/2)(1/3)^1=3/2 なので
b[n]=3/2
従って
a[n]=b[n]-(3/2)(1/3)^n
=3/2-(3/2)(1/3)^n
=(3/2){1-(1/3)^n}
No.80888 - 2022/02/13(Sun) 10:43:27
☆
Re: 漸化式と極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ご返答ありがとうございます
私は以下のように考えてみました
酷評ください。
No.80890 - 2022/02/13(Sun) 12:16:37
☆
Re: 漸化式と極限
/ X
引用
方針は大筋で問題ありません。
但し、抜けがありますね。
〇Aの式が何なのかの定義が抜けています。
No.80892 - 2022/02/13(Sun) 13:30:36
☆
Re: 漸化式と極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ご返答ありがとうございます
X様、らすかる様
No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05
の(1)をお願い致します。
No.80893 - 2022/02/13(Sun) 14:34:22
