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記事No.80902に関するスレッドです
★
重積分
/ タツヒコ
引用
至急です。次の2問を解いて欲しいです。計算過程は絶対書いて欲しいです。勉強になるので解説もお願いしたいのですが、お手数をかけてしまうようであれば計算過程だけでもとても感謝です。
No.80902 - 2022/02/13(Sun) 19:59:54
☆
Re: 重積分
/ 高校三年生
引用
名前：やすはる 日付：2022/2/9(水) 14:57
(1) ∬xy dx dy ここで、x>=0,y>=0,x^2+y^2<=r^2
という問題と、
(2)次の広義積分を計算
∬2x/(x+y)^2 dxdy ここで、D=[0.1]×(0.1]
という問題が、わかりません
途中式と合わせて教えて頂けると幸いです。
Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり 日付：2022/2/9(水) 19:53
(1)
極座標に座標変換すると
(与式)=∫[R:0→r]∫[θ:0→π/2](R^3)cosθsinθdθdR
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4
(2)
(与式)=lim[ε→+0]∫[x:0→1]∫[y:ε→1]{2x/(x+y)^2}dydx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{2x/(x+ε)-2x/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{-2ε/(x+ε)+2/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]{2ε{logε-log(ε+1)}+2log2}
ここでロピタルの定理により
lim[ε→+0]2ε{logε-log(ε+1)}=lim[ε→+0]-2{logε-log(ε+1)}/(-1/ε)
=lim[ε→+0]-2{1/ε-1/(ε+1)}/(1/ε^2)
=lim[ε→+0]2{-ε+(ε^2)/(ε+1)}
=lim[ε→+0]2{-ε+ε-1+1/(ε+1)}
=0
∴(与式)=log4
Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり 日付：2022/2/9(水) 19:55
ごめんなさい。訂正します。
誤：
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4
正：
={(1/4)r^4}(1/4){1-(-1)}
=(1/8)r^4
No.80903 - 2022/02/13(Sun) 20:17:06
