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記事No.80933に関するスレッドです
★ 大学数学・重積分 / タツヒコ
至急お願いします。発熱により頭が働きません。誰か助けてください。途中式(可能な限り細かく)と説明もお願いします。勉強になりますし、非常に助かります。
No.80933 - 2022/02/15(Tue) 21:16:47
☆ Re: 大学数学・重積分 / X
(1)
極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦sinθ,0≦θ≦π}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→sinθ]r√(rsinθ)drdθ
=∫[θ:0→π][(2/5)r^(5/2)][r:0→sinθ]√(sinθ)dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{(sinθ)^3}dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{1-(cosθ)^2}sinθdθ
=(2/5)[-cosθ+(1/3)(cosθ)^3][θ:0→π]
=(2/5)・2(1-1/3)
=8/15

(2)
球座標に変換すると
D={(r,θ,φ)|0≦r≦2}
でヤコビヤンをJとすると
J=(r^2)sinφ
∴(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:0→2]∫[φ:0→π]{(rcosφ)^2}(r^2)sinφdφdrdθ
=2π∫[r:0→2](r^3)dr∫[φ:0→π]{(cosφ)^2}sinφdφ
=2π・(1/4)・(2^4)・[-(1/3)(cosφ)^3][φ:0→π]
=8π・(2/3)
=16π/3
No.80940 - 2022/02/15(Tue) 23:53:05