ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

引用

今回は回答者様に不快な思いをさせてしまい
申し訳ありませんでした。

前回の質問から月日が経っておりますので、改めて質問させてください。

問題と私の答案

何卒宜しくお願い致します。

No.80961 - 2022/02/17(Thu) 07:43:24

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

引用

以前の質問

No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53

No.80962 - 2022/02/17(Thu) 07:58:32

引用

a_1=6 ,a_1=10 nなども興味があります

No.80964 - 2022/02/17(Thu) 10:05:53

引用

初期値によって極限が異なるようです

No.80965 - 2022/02/17(Thu) 10:15:16

引用

考察してみました

No.80966 - 2022/02/17(Thu) 11:24:13

引用

a_1=1 のとき減少関数と決定付け出来ればいいのですが、

No.80967 - 2022/02/17(Thu) 12:03:59

☆ Re: 漸化式と極限 / m

引用

答案について．

> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
これは正しいがこの事実から
> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
は導かれません．

まず，y = p^2/n^2の n = 2, 3, 4, ... における最大値は
n = 2 とした 1+(p/2)^2
です．これから結論付けられるのは
a[n] ≦ 1+(a[n-1]/2)^2
だけです．実際は
a[n-1] ≦ 2 　...(*)
が成り立つことから a[n]≦2 も示されるが，その説明がない．
もちろん (*) が成り立つ理由も必要です．
// (*)が成り立つためには a[n-2] ≦ 2 であればいいですよね．
数学的帰納法で証明するのがいいかなと思います．

No.80968 - 2022/02/17(Thu) 18:54:23

☆ Re: 漸化式と極限 / m

引用

考察について．

>初期値によって極限が異なるようです
その通りです．
実は a_1 = 6 のとき数列は
6.0
10.0
12.111111111111112
10.16743827160494
5.135072040275874
1.7324712460784175
1.061254216703847
1.0175978205073704
1.0127840163493993
と並び，収束します．
その一方で a_1 = 10 のときは発散します．（証明は簡単ではないと思う．）

もう少し考えてみてください．

// 初期値 a_1 によって極限がどう変わるかは難しい問題だと思います．

No.80969 - 2022/02/17(Thu) 18:56:52

☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる

引用

収束・発散の境界の値は
7.22315462674400236941604532548650697832103946911074…
という値になるようですね。
a[1]がこの境界値のとき、a[n]は発散しますが
lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
となるようです。

No.80970 - 2022/02/17(Thu) 22:16:39

引用

ｍ先生、ラスカル先生

ご返答ありがとうございます

丸投げで恐縮ですが、下の
Ａ、Ｂが、理解できません、詳しく教えていただけると幸いです

私は、理解力が弱いのです、

何卒宜しくお願い致します。

No.80973 - 2022/02/18(Fri) 10:58:05

引用

ラスカル様

一つ質問があります

私は大事な局面を考えてなかったようです

＞lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
となるようです。

この事実について詳しく教えてください。

何卒宜しくお願い致します。

No.80975 - 2022/02/18(Fri) 16:10:15

☆ Re: 漸化式と極限 / m

引用

>K.A さん
A について，書き間違いがありました．混乱させてしまい申し訳ありません．

誤：n = 2 とした 1+(p/2)^2
正：n = 2 とした (p/2)^2

// 文字 p を使わなくてもいいかもしれません．
n = 2, 3, 4, ... に対して
(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
が成り立つ．これにより
a[n] = 1 + (a[n-1]/n)^2 ≦ 1 + (a[n-1]/2)^2 　...(**)
が成り立つ．

B について．
目標は「自然数 n に対して 1≦a[n]≦2 」を示すことでした．

a[n-1] ≦ 2 　...(*)
が成り立つと仮定すれば，(**) と合わせて
a[n] ≦ 1+(2/2)^2 = 2
を得る．

この議論と数学的帰納法を組み合わせて"目標"を示すことはできますか．

No.80976 - 2022/02/18(Fri) 16:16:22

引用

ｍ先生

早速ご返信ありがとうございます

一つ詳しく教えていただけると幸いです

＞(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
が成り立つ．

その理由が私はあやふやで正しく掴めていません

何卒宜しくお願い致します。

No.80978 - 2022/02/18(Fri) 17:36:32

引用

追伸

> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
これは正しいがこの事実から
> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
は導かれません．

ここら辺からよくわかりません

私の数学は勘に頼りすぎなので。。。

No.80979 - 2022/02/18(Fri) 18:12:13

☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる

引用

> ＞lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
> となるようです。
>
> この事実について詳しく教えてください。

例えば初期値を7.2231にすると
7.2231
14.0432934025
22.912676620966669667361111111111…
33.811921871062037710884416596959…
46.729842424592134764318520370127…
61.657727028533636784364008135025…
78.585210251534028064267677399435…
97.494301098090764037845392555150…
118.347391933397308129298100938249…
141.061051774371542382815766376128…
165.448101881751478228705440835664…
191.090794557461229383680466026139…
217.069182039064226065386296191802…
241.403213219940832635096823544980…
260.002272679609850597285463999663…
265.067116400633573904762126460304…
244.116180612273453895929313472052…
184.928116162728746098270202022501…
95.732432541539326583023721453286…
23.911746600800944520337659432055…
2.296534298188017063089766053690…
1.010896838394119686099225424806…
1.001931781508270750346120698297…
のようになってある程度の項数(この例では15項ぐらい)までは
順調に増えていきますが、その後急速に減って1に収束しますね。

また、初期値を7.2232にすると
7.2232
14.04365456
22.913803711178754844444444444444…
33.815150032151829897313289436456…
46.738574867877516101520284972805…
61.680399463338660325154934943048…
78.642279141980165237648293880036…
97.634501072580133661388190363837…
118.685133329526558893256218138734…
141.861608734474960471446471217761…
167.319967212671590048637492109814…
195.416468250343721547085502523400…
226.962106884246128781573184096453…
263.815295721101857158761959063836…
310.326712250721883834494153458771…
377.182298188837264595587924553458…
493.271578086550002948288237329385…
751.977931320973447740445942786907…
1567.401133500749748971241784772506…
6142.865783248587842561825567083744…
85567.439979606092048406926511510556…
15127659.645998948368572283143087249905…
432601297477.720279530013092214485308635878…
324902573922581656744.036621028068991771319345415809…
のようになってやはりある程度の項数までは順調に増えますが、
その後爆発的に増えて発散します。
よって境界値が7.2231と7.2232の間にあることがわかりますが、
ちょっとしたプログラムを作って二分探索で境界値を調べていくと、上に書いた
7.22315462674400236941604532548650697832103946911074…
という値のときに「順調に増える項の数」が長くなります。
（この値は500桁程度求めてありますが、ここに書いても意味が
ありませんので、書くのは途中の桁で打ち切りました。）

そして境界値のときに値がどうなっていくかを観察すると
7.223154626744002369416045325486…
14.043490690463322047339619237130…
22.913292308125554868531781263237…
33.813685274850357354421137110623…
46.734612474665275479295132522153…
61.670111198809421780640773601610…
78.616379903541209339613357286268…
97.570862330279970742335684291411…
118.531767603388234597701287566714…
141.497799311836366318294971578461…
166.467993471840661666403827940806…
193.441617017644341315487302301641…
222.418101742017685386076121780190…
253.396999910829237421241077149486…
286.377953616927966922719446007885…
321.360673116481820360001268177595…
358.344921196810662214111536744605…
397.330501689964331620004333953781…
438.317250895287392203500571113280…
481.305031081005790555397840115373…
526.293725496344557994223282112541…
573.283234497565450138170494834610…
622.273472506598519870177000785503…
673.264365599688236104156464238433…
726.255849578161062907033491254373…
781.247868411977083631435276903178…
のようになっていて、整数部が最初の2項を除きn^2+4n+1となり、
小数部が減っていきます。
この先頭の少しの項ではこの後もn^2+4n+1が続くかどうかわかりませんが、
ずっと先を求めていくと
a[100]=10401.075167639232047458174152189362…
a[200]=40801.038747881580670186778979317942…
a[300]=91201.026103278486498192792159158593…
a[400]=161601.019681114359344827818264494027…
a[500]=252001.015795144167465294986190396341…
a[600]=362401.013190713726384735328005783945…
a[700]=492801.011323600544162945778282228200…
a[800]=643201.009919522667017122414109934352…
a[900]=813601.008825234689128316068140518075…
a[1000]=1004001.007948396475627683424135530873…
のようになり、予想が正しそうに思えます。
（証明していませんのであくまでも予想ですが。）
小数点以下は、8/(n+6)に近づいているようですが、
これは（一見正しそうには見えますが）ちょっと怪しいです。

よってこれらの観察の結果、初期値が「境界値」である場合に
lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
が成り立つことが予想される、ということです。

No.80980 - 2022/02/18(Fri) 18:33:09

引用

ラスカル先生ありがとうございます

今

a[1] =10を考えているのですが、私は
a[n]＞(n+2)^2
を示せれば、この数列は∞に発散すると言えると踏まえています

ラスカル先生の示した数式と近いのでご質問いたしました

No.80981 - 2022/02/18(Fri) 18:55:00

☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる

引用

a[n]＞(n+2)^2ならば
a[n+1]＞1+{(n+2)^2/(n+1)}^2
=(n+3)^2+3+(4n+5)/(n+1)^2
＞(n+3)^2
なので確かに言えますね。

同様にa[n]＞(n+2)^2=n^2+4n+4がa[n]＞n^2+4n+3でも
a[n+1]＞1+{(n^2+4n+3)/(n+1)}^2
={(n+1)^2+4(n+1)+3}+2
＞(n+1)^2+4(n+1)+3
となり、言えます。

a[n]＞n^2+4n+2の場合は
a[n+1]＞1+{(n^2+4n+2)/(n+1)}^2
={(n+1)^2+4(n+1)+2}+(n^2-2n-2)/(n+1)^2
となりますので、n^2-2n-2＞0すなわちn≧3であれば言えます
つまりこの場合、a[3]＞23ならば発散が言えるということです。
a[3]=23から逆算するとa[1]=7.23083599…となりますので、
少なくともa[1]≧7.24であれば発散すると言えますね。

No.80983 - 2022/02/18(Fri) 20:01:17

引用

ラスカル先生

ありがとうございます

スッキリしました

追伸

まだまだこの問題でやり残した疑問があり今夜は眠れそうもありません

No.80986 - 2022/02/18(Fri) 20:58:06

☆ Re: 漸化式と極限 / m

引用

返信遅くなってすいません．出かけてました．

>＞(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
>が成り立つ．
>
>その理由が私はあやふやで正しく掴めていません

n ≧ 2 に対して
1/n^2 ≦ 1/2^2
だからです．
// n≧2 の両辺を二乗して逆数をとっているだけなので，この方が簡単かなと思いました．

>> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
>これは正しいがこの事実から
>> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
>は導かれません．
>
>ここら辺からよくわかりません

最大値というのは数列 a[n] の最大値ですよね．
>最大値 = 1+(1/2)^2
となる根拠が足りていないということです．
具体的に何が不足しているかは後回しにして，間違っていることは次のようにして確認できます．

もしこの論法が正しいのだとすれば a[1] = 6 の場合は
数列 a[n] の最大値が 1+(6/2)^2 = 10 であることになってしまう．
No.80969 の計算からこれは間違い．

// a[n] は a[n-1] によって決まる．a[n-1] は a[n-2] によって決まる．．．
// そんな a[n-1] をいっぺんに p = a[n-1] とおいて処理しているのが問題だと思う．

No.80992 - 2022/02/19(Sat) 06:19:00

引用

ｍ先生

おはようございます。

早速のご返答ありがとうございます

大分参考になりそうです

今から頂いた指導を理解します

何分理解力が弱いので返信が遅くなるかもしれません

今日中には一度ご返信致します。

何卒宜しくお願い致します。

No.80993 - 2022/02/19(Sat) 07:02:44

引用

ｍ先生

一つの事実について確認しました

その論理が正しいかどうかご指導いただけると幸いです

以下質問

No.80996 - 2022/02/19(Sat) 08:32:55

引用

追伸

a[n-1とnとが連続というようなイメージです

アバウトで申し訳ございません。

No.80997 - 2022/02/19(Sat) 08:58:04

引用

本日の答案作成　最新

何卒宜しくお願い致します。

No.80998 - 2022/02/19(Sat) 12:20:53

☆ Re: 漸化式と極限 / m

引用

No.80996 の画像の中の
2 > 1 = a[1] > a[2] > a[3] > ... > a[n-1] > a[n]
やNo.80998 の丸B の式の意味/意図が分かりません．（書き間違い？a[2] は a[1] より大きい）

>a[n-1とnとが連続というようなイメージです
これもイメージが伝わりません．

質問．
1. 数学的帰納法は知っていますか．
2. No.80976 の下半分で挙げた数学的帰納法を使った証明は理解できますか．

// 個人的に，この証明をするには帰納法が一番だと思っています．（そもそも漸化式と帰納法は相性がいい）
// ただ，他の可能性をつぶしてしまうのはよくないとも思っています．
// とりあえず帰納法を理解して，そのあとで考え直すというのはどうですか．

No.81002 - 2022/02/19(Sat) 15:31:19

引用

ｍ先生

ご返信が遅れてしまい申し訳ございません

寝込んでました

少し自分で考えてみます

私は、数学的帰納法は最終手段と思っていて、なるべく回避したいです

生意気な事を申しまして申し訳ございません

明日午前までには一度ご連絡致します。

その際はよろしくお願いします。

ｍ先生を独り占めですね。

恐縮です。

No.81007 - 2022/02/20(Sun) 14:27:59

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１３日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

引用

ｍ先生

未だ思考中です

申し訳ございません。

No.81009 - 2022/02/21(Mon) 12:09:41

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１４日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

引用

ｍ先生

遅くなり申し訳ございません。

数学的帰納法で考えてみました

助言をお願い致します。

また、数学的帰納法を用いず解く術を教えていただけると幸いです

No.81034 - 2022/02/23(Wed) 08:44:01

☆ Re: 漸化式と極限 / m

引用

>K.A さん
合っています．
最後の行は
lim[n→∞] (1+4/n^2) = 0 から...
ですね．（書き間違いだと思う）

数学的帰納法を使わない方法は私には思いつきません．

No.81041 - 2022/02/23(Wed) 17:18:41

引用

ｍ先生

ありがとうございました

別に質問を立てます

本当にありがとうございました

No.81049 - 2022/02/24(Thu) 11:19:41