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記事No.81014に関するスレッドです
★ (No Subject) / Haya.Y
底面が▲BCDで一辺の長さ2√3の正四面体A-BCDがある。この正四面体の辺DAの延長上にDO＝4√3となる点Oをとり、Oから▲BCDの平面に垂線OHを下ろす。BC垂直DHを保ちながら、OHを軸として、この正四面体を一回転させるとき、正四面体が通った部分の体積を求めよ。

なるべく中学の範囲を使ってといていただけるとありがたいです。
No.81014 - 2022/02/22(Tue) 18:19:19
☆ Re: / らすかる
BCの中点をMとして、最も内側は線分AM、もっとも外側は線分ADですから
△AMDを回転すると考えればOKです。
AからDHに下した垂線の長さは2√2 → OH=4√2
AからOHに下した垂線APの長さは2
MH=1
DH=4
ですから、直線AMと直線OHの交点をQとすると
(求める立体の体積)
=(四角形PHDAを回転して出来る円錐台の体積)
　-(四角形PHMAを回転して出来る円錐台の体積)
=(△OHDを回転して出来る円錐の体積)×(7/8)
　-(△PQAを回転して出来る円錐の体積)×(7/8)
=π×DH^2×OH×(1/3)×(7/8)-π×AP^2×PQ×(1/3)×(7/8)
=π×(7/24)×(DH^2×OH-AP^2×PQ)
=π×(7/24)×(4^2×4√2-2^2×4√2)
=(14√2)π
No.81015 - 2022/02/22(Tue) 18:47:40