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記事No.81146に関するスレッドです
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無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
分からない事があるので教えてください
以下質問
何卒宜しくお願い致します。
No.81139 - 2022/03/06(Sun) 14:32:35
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
補足です
以下
No.81140 - 2022/03/06(Sun) 14:38:53
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
質問の内容があやふやでした
図において
Xが０から１を長方形の面積を考える時と考えない時との区別がつかないのです
何卒宜しくお願い致します。
No.81141 - 2022/03/06(Sun) 15:01:13
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Re: 無限級数と積分
/ X
引用
長方形の面積「だけ」に注目するなら
図1,図2の違いはありません。
問題はそこではなくて、問題の無限級数と
大小関係を作る対象に何を選ぶかです。
図1の場合、大小関係を作る対象となる面積は
∫[0→n]dx/√x
となります。
この積分自体の値は存在します。が、これは
大学数学で学習する広義積分の考え方が必要で、
数学IIIの範囲からは外れてしまいます。
従って今回の方針からは外れます。
対して、図2の場合は大小関係を作る対象
となる面積は
∫[1→n]dx/√x
となり、これは数学IIIの範囲で計算できます。
No.81142 - 2022/03/06(Sun) 15:50:03
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ｘ先生
ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした
少し昼寝をしておりました
これから頂いた指導を理解してみます
少しお時間をください
No.81145 - 2022/03/06(Sun) 17:52:27
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
質問があります
少しお時間をください
何卒宜しくお願い致します。
No.81146 - 2022/03/06(Sun) 18:24:52
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
続けざまに申し訳ございません。
以下の質問をお願い致します。
No.81147 - 2022/03/06(Sun) 18:37:26
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Re: 無限級数と積分
/ X
引用
以下の証明は高校数学の範囲を超えている定理を(ii)で使っている
ことを頭に入れて、飽くまで参考としてみて下さい。
(使わずに証明する方針は思いつきませんでした。)
(i)0＜k≦1のとき
これはNo.81139の図２のグラフを使います。
面積比較により
∫[1→n]dx/x^k＜Σ[i=1〜n]1/i^k (A)
ここで
∫[1→n]dx/x^k=logn (k=1のとき)
∫[1→n]dx/x^k={1/(1-k)}{n^(1-k)-1} (0＜k＜1のとき)
∴n→∞のとき((A)の左辺)→∞
なので、Σ[n=1〜∞]1/n^kは発散。
(ii)1＜kのとき
これはNo.81139の図1のグラフを使います。
面積比較により
0＜Σ[i=2〜n]1/i^k＜∫[1→n]dx/x^k
∴1＜Σ[i=1〜n]1/i^k＜1+∫[1→n]dx/x^k (B)
ここで
((B)の右辺)=1+{1/(1-k)}{1/n^(k-1)-1}
→1+1/(k-1) (n→∞)
このことと
Σ[i=1〜n]1/i^k
がnに対して単調増加であることから
Σ[n=1〜∞]1/n^kは収束します。
No.81148 - 2022/03/06(Sun) 19:06:46
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
早速のご返答ありがとうございます
今私がわからないことは
何故に
＞(i)0＜k≦1のとき
これはNo.81139の図２のグラフを使い
＞(ii)1＜kのとき
これはNo.81139の図1のグラフを使うのかの判別です
教えてください
何卒宜しくお願い致します。
No.81149 - 2022/03/06(Sun) 19:24:19
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
追伸
ｋの値によってグラフを区別なされていますが
その理由を教えてください
Ｎ何卒宜しくお願い致します。
No.81150 - 2022/03/06(Sun) 19:34:52
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Re: 無限級数と積分
/ X
引用
まず、問題の無限級数(以下これの無限和を(P)とします)
を
xy平面上の長方形の面積の和
として考えるのはよろしいですか？
収束、発散を考えるにはこれと不等号を介して
比較すべき面積が必要になります。
この場合だと
∫[1→n]dx/x^k (Q)
ですね。
さてNo.81148での(i)(ii)で書いた通り
(i)0＜k≦1のとき
(Q)→∞ (n→∞)
(ii)1＜kのとき
(Q)→1/(k-1) (n→∞) (つまり収束します)
以上のことから
(i)の場合は(Q)を問題の無限級数の下限
に持ってくる、つまり
(Q)＜(P)
となるようなグラフの取り方が
(もし可能だとすれば)
都合がいいわけです。
逆に
(ii)の場合は(Q)を問題の無限級数の上限
に持ってくる、つまり
(P)＜(Q)
となるようなグラフの取り方が
(もし可能だとすれば)
都合がいいわけです。
以上を踏まえてもう少し考えてみて下さい。
No.81151 - 2022/03/06(Sun) 20:11:14
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ｘ先生に
どうも私にはその発想は天下りに思えるのですが
要は結果論から出発しているようにおもえます
もう少し考えてみますが
No.81152 - 2022/03/06(Sun) 20:41:06
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Re: 無限級数と積分
/ X
引用
＞＞どうも私にはその発想は天下りに思えるのですが
その通りです。
予想して証明していくという形です。
No.81153 - 2022/03/06(Sun) 22:58:50
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１６日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
こんにちは
天下りではなく
図を一つだけ用意して
私なりに考えました
何卒宜しくお願い致します。
No.81162 - 2022/03/07(Mon) 12:44:47
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Re: 無限級数と積分
/ X
引用
(1)が間違っています。
問題の図において、点Aを
y=1/x^k (A)
のグラフ上の点、
点Bを(A)のグラフの上側の点
と定義した以上、如何にqが収束しようとも、
勝手に
p＜q
とはできません。
No.81165 - 2022/03/07(Mon) 16:50:06
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１７日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
X先生
早速ご返信ありがとうございます
考え疲れてしまいました
＞勝手にp＜qとはできません。
私の答案をどの様に改良すればいいでしょうか
また、私の答案なかに∞より大きいものはない
p＞p
と書きましたが、自分でも意味が分かりません
お助けください
何卒宜しくお願い致します。
No.81167 - 2022/03/07(Mon) 17:06:44
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１７日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ｘ先生に
＞また、私の答案なかに∞より大きいものはない
からの下りが自分の答案にも関わらず意味がわかりません
ペンが勝手に動いたのです
どうかご指導いただけると幸いです
No.81169 - 2022/03/07(Mon) 18:25:09
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Re: 無限級数と積分
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学１７日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
大変いけてない答案をUPして
申し訳ございません
いい考え方が浮かびました
明日UPします
大変申し訳ございません
No.81173 - 2022/03/07(Mon) 20:43:43
