解説の鉛筆で❔マークを書いている所がなぜそうなるのか分かりません。詳しい解説をお願いします。
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No.81193 - 2022/03/09(Wed) 17:57:49
| ☆ Re: / ast | | | 横からですが,
> S[2n-1]の最後の部分も1/2n-1じゃなくて1/nになってる理由がよくわかりません
仮に, 質問者さんのお考えの通り S[2n-1] の最後を 1/(2n-1) に, ついでにたぶん S[2n]=S[2n-1]-1/(2n) とかじゃないかと疑っておられるのだと思うのでそうしてみたとすると,
S[1]=1, S[2]=1-1/2, S[3]=1-1/2+1/3, …
というような意味となり (↑を見てもしかしたら, S[2n-1] の最後, 1/(2n-1) は二つ (足すと引く) じゃないのかと思っていおられるかもしれませんが, S[2n-1] の最後から一つ前の項は S[2(n-1)](=S[2(n-1)-1)-○) の式の右辺に出てくる奴 (-○) なので, (問題の級数でそこがたまたま一致していたから2つ並んだだけで, この変更した設定では一致しないので) 必然的に一個になります), 実際にそれで計算することになる無限級数は
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+1/(2n-1)-1/2n+…
ですので, 問題で求めたい無限級数と全然別のものになります (和も全く違う値です) けど, よいと思いますか?
また, 右側面に書かれている傍注 (左▼で示されている注意と「参考」と書かれているもの) はとても重要なことが書かれていて, 解答の S[2n-1] の計算における二行目を極限に飛ばして得られる無限級数
1-(1/2-1/2)-(1/3-1/3)-…-(1/n-1/n)-… (=1)
は初項が 1, 第 n 項 (ただし n≥2) が -(1/n-1/n) (=0) の無限級数という意味になり, 実はこれも最初の (問題が要求している) 最初の無限級数とは別物をあらわします (括弧で括るだけなのにそんなに意図が違ってくるのかと感じてください. たかが括弧, されど括弧.).
# 本問は「本来は別物だけど実は和の値が一致するので, こっちで計算してよい」という話であり,
# そのことを理解するための問題なので, この違いが認識できるかどうかはとても重要なことになります.
## 有限和のときは, 自由に括弧を付けても和の値が変わることは無かったので実感しづらいでしょうけれど
## 実は有限和のときも, 括弧の有無で意図というかニュアンス自体は違っていたのです.
### (無限和では和の値にも影響が出てくるので, このニュアンス程度の違いの重要度が跳ね上がります)
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No.81207 - 2022/03/10(Thu) 10:41:27 |
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