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記事No.81231に関するスレッドです
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
すみません、

此方もよろしくお願いいたします
No.81222 - 2022/03/11(Fri) 10:46:03
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私の考え方です

正解に至りませんでした

教えてください。
No.81223 - 2022/03/11(Fri) 14:23:03
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
上の答案を書き直しました

何卒宜しくお願い致します。
No.81225 - 2022/03/11(Fri) 17:18:19
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
まず
上から2行目の()内の命題は成立しますが
だからと言って
lim[m→∞]S[3m]
だけ求めればよいことにはなりません。
飽くまで()内の命題は
lim[m→∞]S[3m]=lim[m→∞]S[3m+1]=lim[m→∞]S[3m+2]=α
が成立するという「前提」での命題ですので。

次にその命題の下の計算ですが、支離滅裂です。
K・Aさんが計算しているのは
a[n]=(1/2^n)sin(2nπ/3) (A)
としたときの
lim[n→∞]Σ[k=1〜m]a[3k] (B)
であって
lim[n→∞]S[3m]
ではありません。
(A)を使うと
lim[n→∞]S[3m]=lim[n→∞]Σ[k=1〜3m]a[k] (C)
(B)(C)は等しくありません。

それにそもそも
a[3k]={1/2^(3k)}sin2kπ=0
です。
No.81226 - 2022/03/11(Fri) 17:38:02
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
で、方針ですが、等比数列の和の公式の導出過程と
似たような計算を使えば、場合分けは不要です。


S[n]=Σ[k=1〜n](1/2^k)sin(2kπ/3) (A)
と置くと
(1/2^3)S[n]=Σ[k=1〜n]{1/2^(k+3)}sin(2kπ/3)
=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin{2(k-3)π/3}
((∵)k+3を改めてkと置いた)
=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin(2kπ/3-2kπ)
=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin(2kπ/3)
∴(1/8)S[n]=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin(2kπ/3) (B)
(A)-(B)より
(7/8)S[n]=(1/2)sin(2π/3)+(1/4)sin(4π/3)+(1/8)sin2π
-{1/2^(n+1)}sin{2(n+1)π/3}-{1/2^(n+2)}sin{2(n+2)π/3}-{1/2^(n+3)}sin{2(n+3)π/3}
∴S[n]=(√3)/7-(8/7){1/2^(n+1)}sin{2(n+1)π/3}
-(8/7){1/2^(n+2)}sin{2(n+2)π/3}
-(8/7){1/2^(n+3)}sin{2(n+3)π/3}
∴(与式)=lim[n→∞]S[n]=(√3)/7
No.81227 - 2022/03/11(Fri) 18:23:01
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生

こんばんは

丁寧な解説ありがとうございます

なるほどですね

一つ質問があります

以下の考え方はアリですか
No.81228 - 2022/03/11(Fri) 18:53:35
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
記号の定義をきちんとして下さい。
No.81228の解答において
S[3],S[2],S[1]
の定義は何なのかはっきりしません。
いずれも問題の無限級数の部分和のつもりで
書いていませんよね？。
No.81229 - 2022/03/11(Fri) 20:03:16
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

遅い時間までごめんなさい

以下が質問です
No.81231 - 2022/03/11(Fri) 20:16:52
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に怒られそうな答案ですが

私のいまの最大限の答案です

このままでは眠れない、、、、
No.81232 - 2022/03/11(Fri) 20:35:10
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
出来ました

具体的に考えれば

n=3k.n=3k-1,n=3k-2

これで政界に至りますね

申し訳ございません。
No.81239 - 2022/03/11(Fri) 21:49:45
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
遅くなり申し訳ございません

以下私の答案


何卒宜しくお願い致します。
No.81243 - 2022/03/11(Fri) 22:32:15
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
ざっと見ただけなので細かい計算間違いなどの見落とし
があるかもしれませんが、この問題に限って言えば
その方針でも正しい解答が出ます。

ですが飽くまで「この問題に限って言えば」です。
問題の条件によっては、正しい答えが出ないからです。

で、その「正しい答えが出ない条件」についてですが、
その説明は高校数学の範囲を超えます。
ですのでK・Aさんの学習段階では
無限級数では、勝手に項を足す順番を変えてはいけない
とだけ、頭に入れて、今回の方針は使わないように
して下さい。
No.81247 - 2022/03/12(Sat) 06:55:35
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
参考になるのは、以前K・Aさんが質問された
No.81116の(3)(4)です。
この問題は無限級数を取る項の並びは同じですが
括弧の付け方の違いで和が存在するか否かが
変わっていますよね。
No.81248 - 2022/03/12(Sat) 07:03:53
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

今回も最後までお付き合いいただきありがとうございました


今後もご教授お願い致します。
No.81262 - 2022/03/12(Sat) 22:47:03