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記事No.81287に関するスレッドです
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無限等比数列の極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学２１日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
こんばんは。
遅い時間に申し訳ございません
何卒宜しくお願い致します。
No.81266 - 2022/03/12(Sat) 23:41:38
☆
Re: 無限等比数列の極限
/ らすかる
引用
Σ[n=1〜∞]a^(-n)=Σ[n=1〜∞](1/a)^n=1/(a-1)
T=Σ[n=1〜∞]na^(-n) とおくと
aT=Σ[n=1〜∞]na^(-n+1)
=Σ[n=0〜∞](n+1)a^(-n)
(a-1)T=aT-T={Σ[n=0〜∞](n+1)a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]na^(-n)}
=1+{Σ[n=1〜∞](n+1)a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]na^(-n)}
=1+Σ[n=1〜∞]{(n+1)a^(-n)-na^(-n)}
=1+Σ[n=1〜∞]{(n+1)-n}a^(-n)
=1+Σ[n=1〜∞]a^(-n)
=1+1/(a-1)
=a/(a-1)
∴T=a/(a-1)^2
よって
S=Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n)
aS=Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n+1)
=Σ[n=0〜∞](n+1)^2・a^(-n)
(a-1)S=aS-S={Σ[n=0〜∞](n+1)^2・a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n)}
=1+{Σ[n=1〜∞](n+1)^2・a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n)}
=1+Σ[n=1〜∞]{{(n+1)^2・a^(-n)}-{n^2・a^(-n)}}
=1+Σ[n=1〜∞]{(n+1)^2-n^2}a^(-n)
=1+Σ[n=1〜∞](2n+1)a^(-n)
=1+2{Σ[n=1〜∞]na^(-n)}+{Σ[n=1〜∞]a^(-n)}
=1+2a/(a-1)^2+1/(a-1)
=a(a+1)/(a-1)^2
従って
S=a(a+1)/(a-1)^3
No.81267 - 2022/03/13(Sun) 00:12:24
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Re: 無限等比数列の極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学２１日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ラスカル先生に
ご回答ありがとうございます。
私も同様の手段は取れたのですが
微分などを用いた考えを模索しています
出来ましたら、教えていただけると幸いです
No.81272 - 2022/03/13(Sun) 09:34:08
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Re: 無限等比数列の極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学２１日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
別の掲示板で恐縮ですが、
以下が理解できません
ご指導いただけると幸いです
No.81273 - 2022/03/13(Sun) 10:00:16
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Re: 無限等比数列の極限
/ X
引用
添付写真の2行目の式の両辺にxをかけているだけです。
No.81284 - 2022/03/13(Sun) 12:17:25
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Re: 無限等比数列の極限
/ 桜蔭学園中等部２年 K・A 数学３独学２１日目 校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
できました♥♥
酷評ください。
No.81287 - 2022/03/13(Sun) 12:35:48
