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記事No.81406に関するスレッドです
★
多変数関数の積分法
/ dshhhk
引用
(B)1.(2)と2.(1)と(3)の途中式と答えをよろしくお願いします。
No.81406 - 2022/03/22(Tue) 06:44:37
☆
Re: 多変数関数の積分法
/ X
引用
1(2)
自然数nに対し
D[n]={(x,y)|x^2+xy+y^2≦n^2}
と置き
I[n]=∫∫[D[n]]{e^{-(x^2+xy+y^2)}}dxdy (A)
を考えます。
このとき、もし与式が収束するのであれば
(与式)=lim[n→∞]I[n]
ということで(A)を求めることを考えます。
(A)において
x+y/2=rcosθ
(√3)y/2=rsinθ
というように極座標に似たような置換をしてみましょう。
こちらの計算では
(与式)=2π/√3
となりました。
No.81408 - 2022/03/22(Tue) 09:39:46
☆
Re: 多変数関数の積分法
/ GandB
引用
変換のヒントが出ている(2)の3が簡単そうなので計算してみた。
wolframa も今度は横着しなかった。
No.81440 - 2022/03/23(Wed) 08:15:40
☆
Re: 多変数関数の積分法
/ X
引用
2.(1)
2≦nなる自然数nに対し
D[n]={(x,y)|x^2+y^2≧1/n^2,0≦x≦1,0≦y≦x}
と置き
I[n]=∫∫[D[n]]{x/√(x^2+y^2)}dxdy (A)
を考えます。
(A)において、極座標に置換すると
I[n]=∫[θ:0→π/4]∫[r:1/n→1/cosθ]rcosθdrdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/4]{(cosθ)/(cosθ)^2-(1/n^2)cosθ}dθ
=(1/4)∫[θ:0→π/4]{1/(1-sinθ)+1/(1+sinθ)}cosθdθ-1/{(2√2)n^2}
=(1/2)log(1+√2)-1/{(2√2)n^2}
∴(与式)=lim[n→∞]I[n]=(1/2)log(1+√2)
No.81461 - 2022/03/23(Wed) 20:54:19
