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記事No.81499に関するスレッドです
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自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
こんにちは
何卒宜しくお願い致します。
No.81499 - 2022/03/26(Sat) 07:20:18
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Re: 自然対数
/ らすかる
引用
log lim[x→∞]x^a/e^(bx)
=lim[x→∞]log(x^a/e^(bx))
=lim[x→∞]alogx-bx
y=alogx-bxとおくと
y'=a/x-bなのでx>2a/bのときy'<-b/2となり
x→∞のときy→-∞
従って
log lim[x→∞]x^a/e^(bx)=lim[x→∞]alogx-bx=-∞なので
lim[x→∞]x^a/e^(bx)=0
No.81500 - 2022/03/26(Sat) 07:33:02
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Re: 自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ラスカル先生に
私も考えてみました
でも、スッキリしないです
もっとイイ解き方が存在すると思います
No.81501 - 2022/03/26(Sat) 17:40:46
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Re: 自然対数
/ らすかる
引用
ロピタルの定理を使ってよいなら
分子の指数が0以下になるまで繰り返しロピタルの定理を使って
lim[x→∞]x^a/e^(bx)
=lim[x→∞]ax^(a-1)/{be^(bx)}
=lim[x→∞]a(a-1)x^(a-2)/{b^2・e^(bx)}
・・・
=lim[x→∞]a(a-1)(a-2)…(a+1+[-a])x^(a+[-a])/{b^(-[-a])・e^(bx)}
=C・lim[x→∞]x^(a+[-a])/e^(bx)
x→∞のとき(分母)→∞、(分子)→0または1なので
(与式)=0
# [x]はガウス記号
No.81502 - 2022/03/26(Sat) 18:06:42
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Re: 自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ラスカル先生に
まさに、頂いた考え方が
私の探していたものです
ありがとうございます。
少しお時間をください
暫し考えてみます
何卒宜しくお願い致します。
No.81503 - 2022/03/26(Sat) 18:25:03
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Re: 自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
厳密ではないでしょうが
以下のように考えてみました
No.81515 - 2022/03/26(Sat) 21:19:41
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Re: 自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
一部追加します。
No.81516 - 2022/03/26(Sat) 21:32:48
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Re: 自然対数
/ らすかる
引用
ガウス記号を使わない方向で行くなら
a=n-r(nは整数で0≦r<1)とおいてn回ロピタルの定理を使えばいいですね。
# aが整数ならばn=a,r=0、aが非整数の場合は例えばa=3.3ならばa=4,r=0.7
lim[x→∞]x^a/e^(bx)
=lim[x→∞]x^(n-r)/e^(bx)
=lim[x→∞](n-r)x^(n-1-r)/{be^(bx)}
=lim[x→∞](n-r)(n-1-r)x^(n-2-r)/{b^2・e^(bx)}
=lim[x→∞](n-r)(n-1-r)(n-2-r)x^(n-3-r)/{b^3・e^(bx)}
・・・
=lim[x→∞]{(n-r)(n-1-r)(n-2-r)…(1-r)}x^(-r)/{b^n・e^(bx)}
={(n-r)(n-1-r)(n-2-r)…(1-r)}/b^n・lim[x→∞]x^(-r)/e^(bx) … (1)
x→∞のとき、r=0ならばx^(-r)→1、0<r<1ならばx^(-r)→0
そしてe^(bx)→∞なので
(1)={(n-r)(n-1-r)(n-2-r)…(1-r)}/b^n・0=0
# x^t/e^(bx)はt>0ならばロピタルの定理が使えて
# t≦0ならば(極限が定まることで)ロピタルの定理が使えませんので、
# a=n-r(0≦r<1)とおくと都合がいいです。
No.81520 - 2022/03/27(Sun) 08:20:08
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Re: 自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学29日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
私の答案で間違っている箇あ所gが
ありましたらご指摘ください。
何卒宜しくお願い致します。
No.81522 - 2022/03/27(Sun) 08:54:57
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Re: 自然対数
/ らすかる
引用
内容的な間違いはないと思いますが、
・aがnに等しいときしか書いていないので解答として不十分
・式の分母に∞を入れているのは減点対象
ぐらいですかね。
No.81523 - 2022/03/27(Sun) 09:26:09
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Re: 自然対数
/ 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学29日目 校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
引用
ラスカル先生に
今回も有難うございました
No.81525 - 2022/03/27(Sun) 09:46:21